Math. Sci. hum. /Mathematical Social Sciences (43eann´ee, n◦174, 2006, p. 25–67)HENRI-AUGUSTE DELANNOY, UNE BIOGRAPHIE(Premi`ere partie)Sylviane R. SCHWER1, Jean-Michel AUTEBERT2r´esum´e–Les travaux du math´ematicien Delannoy (1833-1915) qui ´etaient tomb´es dansl’oubli ont suscit´e r´ecemment un vif int´erˆet, en raison des nombreux objets qui sont d´enombr´es parles suites associ´ees `a son nom. En effet, ces suites ont ´emerg´e dans des travaux aussi divers que larepr´esentation et le raisonnement spatio-temporel en informatique et en linguistique, en biologie ouen physique th´eorique. Nous nous proposons ici de remettre `a l’honneur ce math´ematicien m´econnu.Son parcours, bien que modeste, nous ´eclaire sur la soci´et´e math´ematique de la fin du XIXesi`ecle.Dans ce premier article nous pr´esentons les ´el´ements connus de sa vie, en particulier de son activit´ede math´ematicien. Nous fournissons notamment une revue compl`ete de ses publications. En annexe,le lecteur trouvera la description de la biblioth`eque math´ematique donn´ee en h´eritage par Delannoy`a la biblioth`eque municipale de Gu´eret et ce qu’il en est advenu. Dans un second article, noustraiterons de fa¸con approfondie de son apport majeur : l’usage des ´echiquiers arithm´etiques dansla r´esolution de probl`emes combinatoires et probabilistes et les applications actuelles.mots cl´es – Biographie, Histoire de la combinatoiresummary – Henri-Auguste Delannoy, a biography (First part)The works of the mathematician Delannoy (1833-1915) which had sunk into oblivion have arouseda keen interest recently, because of the many objects which are counted by the sequences associatedwith his name. Indeed, these sequences emerged in works as varied as the representation and thespace-time reasoning in data processing and linguistics, biology or theoretical physics. We proposehere to pay tribute to this ignored mathematician. His carreer, although modest, informs us about themathematical comunity at the end of the XIXth century. In this first article we present the knownelements of his life, in particular of his activity as a mathematician. We provide in particulara complete review of his publications. In an appendix, the reader will find the description of themathematical library bequeathed by Delannoy to the public library of Gu´eret and what has become ofit. In a second article, we will analyse his major contribution thoroughly : the use of the arithmeticchess-boards in the resolution of combinatory and probabilistic problems and its current applications.keywords – Biography, History of combinatorics1. INTRODUCTIONDans la litt´erature math´ematique le nom Delannoy est associ´e `a deux suites denombres et de chemins. L’une, r´ef´erenc´ee par les auteurs francophones, cit´ee par1LIPN UMR 7030 (Universit´e Paris 13 et CNRS), schwer@lipn.univ-paris13.fr2Universit´e Paris 7, UFR d’informatique, autebert@liafa.jussieu.fr 26 s. r. schwer, j.-m. autebertErrera [1931], puis Touchard [1952], Kreweras [1992], Penaud [1995] correspond `a lar´ecurrence, ´equation aux diff´erences finies :a(p, q) = a(p−1, q) + a(p, q −1)avec a(p, 0) = a(0, q) = 1 comme conditions initiales. La suite des nombres cen-traux a(n, n) est r´ef´erenc´ee sous le num´ero EIS A000984 de l’encyclop´edie en lignedes suites d’entiers [Sloane] et appel´ee s´equence des coefficients centraux binomiauxa(n, n) = 2nn=(2n)!(n!)2. Cette suite est ´egalement associ´ee aux noms d’Euler,Segner, Catalan, voire Dyck. Ces nombres d´enombrent de nombreuses familles d’ob-jets. Stanley en exhibe 66 [Stanley, 1999, (exercice 6.19, p. 219-229)].La seconde suite, r´ef´erenc´ee sous le nom de Delannoy par les anglophones commeWeisstein [2000], citant Comtet [1970], correspond `a la r´ecurrenced(p, q) = d(p−1, q) + d(p, q −1) + d(p−1, q −1)toujours avec 1 comme conditions initiales. Les nombres diagonaux d(p, p) sontconnus sous le nom de suite centrale de Delannoy et cette suite est r´ef´erenc´ee sousle num´ero EIS A001850 de l’encyclop´edie en ligne des suites d’entiers [Sloane].Sulanke a r´epertori´e 29 familles d’objets, d´enombr´ees par ces nombres [Sulanke,2003] parmi lesquelles le nombre de situations relatives possibles de deux chaˆınes depoints sur une mˆeme ligne, calcul´e par le premier auteur. Ce calcul est `a l’origine deson int´erˆet pour Delannoy [Schwer, 1997].Ces deux suites se calculent `a l’aide des Tableaux 1 et 2, aussi d´enomm´es ´echi-quiers arithm´etiques.Le premier Tableau ressemble au carr´e arithm´etique de Fermat [Lucas, 1891,p. 83], plus connu sous le nom de triangle de Pascal (par lecture parall`ele `a la diago-nale secondaire). L’entier a(p, q) d´enombre par exemple le nombre de cheminementsde longueur minimale que la Tour peut effectuer du coin sup´erieur gauche `a la case(p,q) d’un ´echiquier. Les nombres d(p, q) du second Tableau correspondent quant`a eux aux d´eplacements de la Reine (ou du Roi). Ce tableau, mis en œuvre parDelannoy dans les ann´ees 1886–1895, a ´et´e red´ecouvert et r´e´etudi´e `a partir de 1963[Moser, Zayachkowski, 1963 ; Stanton, Cowan, 1970].Les ´etudes de Delannoy concernant les ´echiquiers arithm´etiques de formes etconditions initiales vari´ees ont ´et´e reproduites par Lucas3dans le chapitre d´edi´e `ala g´eom´etrie de situation de son livre de Th´eorie des Nombres [Lucas, 1891]. Cechapitre, cit´e notamment par Errera [1931] et Comtet [1970], a permis au nomDelannoy de subsister dans le vocabulaire math´ematique [Weisstein, 2000]. Cestableaux de Delannoy, au mˆeme titre que le triangle de Pascal, fournissent des exer-cices, aussi divertissants que formateurs aux enfants, pour la maˆıtrise de la premi`eredes op´erations : l’addition.3Lucas Edouard, fran¸cais, 1842–1891, normalien, professeur de classes pr´eparatoires. Ses tra-vaux en th´eorie des nombres, tomb´es dans un oubli relatif en France, mais repris et enrichi aux´Etats-Unis, notamment par Lehmer, sont actuellement utilis´es en cryptographie (test de primalit´ede Lucas-Lehmer) [D´ecaillot, 1998]. henri-auguste delannoy, une biographie 2711 1 1 1 1 1 1 1 1123 4 5 6 7 8 9 101 3 610 15 21 28 36 45 551 4 10 20 35 56 84 120 165 2201 5 15 35 70 126 210 330 495 7151 6 21 56 126 252 462 792 1287 20021 7 28 84 210 462 924 1716 3003 50051 8 36 120 330 792 1716 3432 6435 114401 9 45 165 495 1287 3003 6435 12870 243101 10 55 220 715 2002 5005 11440 24310 48620Tab. 1. Suite fran¸caise11 1 1 1 1 1 1 1 1135 7 9 11 13 15 17 191 5 13 25 41 61 85 113 145 1811 7 25 63 129 231 377 575 833 11591 9 41 129 321 681 1289 2241 3649 56411 11 61 231 681 1683 3653 7183 13073 223631 13 85 377 1289 3653 8989 19825 40081 755171 15 113 575 2241 7183 19825 48639 108545 2241431 17 145 833 3649 13073 40081 108545 265729 5984171 19 181 1159 5641 22363 75517 224143 598417 1462563Tab. 2. Suite anglaiseLes travaux de Delannoy ont sombr´e dans l’oubli, bien que les m´ethodes uti-lis´ees permettaient bien souvent la r´esolution rapide et ´el´egante de questions decombinatoire et de probabilit´e, contrairement `a l’approche classique par fonctionsg´en´eratrices et d´eterminants. Bien connu des math´ematiciens de son ´epoque, commesa nombreuse correspondance passive l’atteste, Henri Delannoy a ´et´e compl`etementignor´e par la suite, alors mˆeme que des travaux du mˆeme type, mais provenant demath´ematiciens reconnus dans des domaines plus acad´emiques comme Eug`eneCatalan (1814-1894), Axel Thue (1863-1922), Ernst Schr¨oder (1841-1902), Walthervon Dyck (1856-1934), Jan Lukasiewicz (1878-1956), Eric Temple Bell (1883-1960)ou bien Theodore Motzkin (1908-1970) ´etaient d´ej`a r´eexploit´es grˆace aux nouveauxprobl`emes math´ematiques que soul`event les applications informatiques, des r´eseaux`a l’intelligence artificielle.Il est naturel de se demander qui ´etait Delannoy et quelles furent exactement sescontributions `a cˆot´e de la question de l’impact actuel de ses travaux, qui a commenc´e`a ˆetre soulev´ee par les combinatoriciens d`es 1994, au sein de la \"Domino mailing list”,en relation avec les probl`emes concernant le diamant Aztec. 28 s. r. schwer, j.-m. autebertNous nous proposons ici de remettre `a l’honneur ce math´ematicien m´econnu, enpr´esentant l’ensemble des ´el´ements de sa vie que nous avons collect´es, en particu-lier dans son activit´e de math´ematicien. Cet article prolonge et compl`ete celui deBanderier et Schwer [2002] sur la vie et l’œuvre de Delannoy, et est compl´et´e parcelui de Autebert, D´ecaillot et Schwer [2003] sur les rapports entre Lucas, Laisant4et Delannoy. De nombreuses informations nouvelles sont le fruit du collectage r´ealis´enotamment `a Gu´eret – o`u Delannoy a pass´e son enfance et sa retraite – par lesauteurs, au cours d’enquˆetes aupr`es de la famille, de notables de Gu´eret et surtoutaupr`es de la soci´et´e des Sciences Naturelles et Arch´eologiques de la Creuse – dontDelannoy fut le pr´esident de 1896 jusqu’`a sa mort en 1915 – ainsi que le fruit del’aide de nombreux coll`egues5.Cet article est donc avant tout constitu´e d’une biographie d´etaill´ee de Delannoy,en insistant naturellement sur ses rapports avec d’autres math´ematiciens de son´epoque. En particulier, nous verrons le rˆole important de Laisant dans la diffusiondes travaux de Delannoy et sa reconnaissance scientifique. Puis nous pr´esenterons laliste comment´ee compl`ete des publications math´ematiques de Delannoy. En annexe,nous traiterons du leg que Delannoy a fait de sa biblioth`eque math´ematique `a laville de Gu´eret. Dans un prochain article sera trait´e de fa¸con approfondie son ap-port majeur : l’usage des ´echiquiers arithm´etiques dans la r´esolution de probl`emescombinatoires et probabilistes.2. LA BIOGRAPHIE D’HENRI-AUGUSTE DELANNOY (1833-1915)C’est dans la n´ecrologie6faite par son ami Louis Lacrocq [1915] que nous d´ecouvronsson entourage et sa famille, d´ecouverte enrichie par nos entretiens avec quelques-unsde ses descendants, notamment ceux habitant toujours `a Gu´eret7.Henry8-Auguste Delannoy est n´e le 28 septembre 1833 `a Bourbonne-les-Bains,en Haute-Marne, de Omer Benjamin Joseph Delannoy, officier comptable et deFran¸coise Delage, son ´epouse. Originaire de Lille, le p`ere d’Henri s’engage en 18134Laisant Charles-Ange, fran¸cais, 1841-1920, polytechnicien, officier du g´enie, commence unecarri`ere politique `a Nantes. Il dirige le journal le Petit Parisien tout en soutenant deux th`eses dedoctorat sur les applications m´ecaniques du calcul des quaternions ainsi que sur les courbes etsurfaces. Laisant soutiendra le g´en´eral Boulanger, et apr`es quelques d´emˆel´es politico-judiciaires,reviendra vers l’enseignement des math´ematiques `a l’´ecole Polytechnique (1893). Il sera l’auteurde nombreuses publications p´edagogiques en alg`ebre et en th´eorie des nombres et cr´eera avec sonami Lemoine une revue de math´ematiques (1894) l’Interm´ediaire des Math´ematiciens et avec HenriFehr, la revue de l’Enseignement math´ematique.5Cf. la section Remerciements.6Elle nous a ´et´e gracieusement fournie par la Soci´et´e d’Histoire Naturelle et d’Arch´eologie dela Creuse.7En 2002, nous devions rencontrer sa petite-fille, qui l’avait bien connu. Malheureusement, elleest d´ec´ed´ee la semaine pr´ec´edent notre venue.8C’est l’orthographe port´ee sur les extraits de naissance et de d´ec`es, mais H-A Delannoy ayantobtenu par jugement officiel d’en changer l’orthographe en Henri, nous respecterons ce choix dansla suite de l’article. henri-auguste delannoy, une biographie 29(il est alors ˆag´e de 18 ans) comme volontaire pour faire les derni`eres campagnesde l’Empire, en particulier il assiste `a la bataille de Waterloo. Il entre ensuite dansl’administration militaire. En fonction `a Gu´eret comme secr´etaire du sous-intendantde la place de Gu´eret, il rencontre Fran¸coise Delage, qu’il ´epouse le 24 novembre 1830.Elle est de tr`es vieille souche gu´er´etoise : son grand-p`ere, Gilles-Fran¸cois Delage, ´etaitprocureur `es si`eges royaux.Ainsi Bourbonne-les-Bains n’est que le lieu de naissance d’Henri Delannoy, comme´etape de la vie militaire paternelle, et les Archives D´epartementales de la Haute-Marne poss`edent son acte de naissance mais aucune autre mention, ni de mariage,ni de d´ec`es. C’est dans le Gu´er´etois qu’Henri Auguste est ´elev´e. Il fait notammentses ´etudes secondaires au coll`ege de Gu´eret.C’est aussi dans le Gu´er´etois qu’il ´epouse en 1859 Olympe-Marguerite Guillon,fille du pharmacien Antoine Guillon. Ce mariage d’inclination se termina tragique-ment `a Angoul`eme dix-sept ans plus tard, par la mort d’Olympe, brul´ee vive danssa cuisine en confectionnant de l’encaustique9. Ils auront eu trois enfants, deux filleset un gar¸con. L’une des filles se fera religieuse (`a Nantes), l’autre fille aura desdescendants dont certains vivent toujours `a Gu´eret. Le fils, lui, quittera la r´egion.C’est encore dans le Gu´er´etois que Delannoy passe sa longue retraite de militaire.Il d´emissionne en 1888 pour revenir d´efinitivement s’installer en plein centre deGu´eret et, `a quelques kilom`etres de l`a, `a Saint-Sulpice-le-Gu´er´etois, pour s’adonner`a ses passe-temps favoris : la chasse, les math´ematiques. Nomm´e, en son absence, parses amis de la Soci´et´e d’Histoire Naturelle et d’Arch´eologie de la Creuse pr´esident decelle-ci, il s’y investit et d´elaisse les math´ematiques au profit d’´etudes sur l’histoirelocale.C’est `a Saint-Sulpice-le-Gu´er´etois qu’Henri Delannoy est enterr´e dans le caveaufamillial. Ce caveau, modeste, existe toujours, et on peut situer l’emplacement desa demeure dans l’impasse Delannoy de cette commune. En revanche, sa demeuregu´er´etoise a ´et´e ras´ee pour faire la part belle au stationnement automobile. Pard´elib´eration du 28 avril 2005, le Conseil Municipal de Gu´eret a donn´e le nom d’HenriDelannoy `a une rue de la commune10.Si l’on se souvient que la Creuse est le berceau de la franc-ma¸connerie, il estl´egitime de se poser la question des liens qui pouvaient unir Henri Delannoy aveccette soci´et´e ou avec ses membres. Nous n’avons pas trouv´e d’indication qu’il aitjamais fait partie d’une loge. Il devait n´ecessairement entretenir de bons rapportsavec ses membres, pour ˆetre propos´e `a la pr´esidence de la soci´et´e savante. Noussavons en revanche qu’Henri Delannoy ´etait d’une famille profond´ement catholiqueet que lui-mˆeme est d´ecrit par les membres de sa famille comme tr`es attach´e `a lafoi.9Explication fournie par la famille.10 Il s’agit de la voie secondaire du lotissement de Vernet. La proposition a ´et´e faite par l’adjointau maire et conseiller g´en´eral M. Avizou, suite `a notre rencontre en 2002. 30 s. r. schwer, j.-m. autebert2.1. Sa scolarit´eHenri-Auguste Delannoy fait ses ´etudes au coll`ege de Gu´eret o`u il passe son bac-calaur´eat avec dispense d’ˆage en 1849. Puis il ´etudie deux ans les math´ematiquesau Lyc´ee de Bourges o`u sa famille habite, avant de pr´eparer le concours de l’´EcolePolytechnique, `a l’institution Sainte-Barbe. Voici les seuls renseignements conserv´es`a l’´Ecole Polytechnique au sujet de Henri-Auguste Delannoy :Int`egre en 1853 ; cheveu chˆatain fonc´e, taille 1m68, front moyen, nez moyen,yeux bleus, bouche petite, menton rond, visage rond; scolarit´e : Examen Parisclassement 62, Passage 91een 1854 sur 106 ´el`eves, sorti 67een 1855 sur 94,corps de l’armement 18een 1855.2.2. Le militaireC’est aux archives de Vincennes de l’Arm´ee de Terre que l’on trouve la suite, dansson dossier militaire (dossier num´ero 61241), que nous reproduisons ci-dessous :´Evolution– sous-lieutenant ´el`eve le 1er mai 1855,– ´ecole d’application d’artillerie de Metz 12esur 37 en 1856,– sous-lieutenant le 1er mai 1856,– lieutenant le 1er mai 1857,– capitaine le 14 janvier 1863,– adjoint `a l’intendance le 5 juillet 1865,– sous-intendant de 3eclasse le 11 aoˆut 1867,– sous-intendant de 2eclasse le 19 f´evrier 1872,– sous-intendant de 1re classe le 5 f´evrier 1882,Campagnes militaires1859 Italie du 27 mars au 18 aoˆut 1859,1866 Afrique du 6 octobre 1866 au 25 octobre 1869,– Allemagne 26 juillet 1870– Allemagne 7 mars 1871rentr´e d´efinitivement en France le 7 mars 1871.D´ecorations– chevalier de la l´egion d’honneur le 18 juillet 1868,– officier de la l´egion d’honneur le 20 d´ecembre 1886,– m´edaille d’Italie– m´edaille de la valeur militaire de Sardaigne– sans blessure (SIC)´Etat du service arrˆet´e le 9 janvier 1889– R´esidence `a Gu´eret (Creuse), mari´e le 10 novembre 1859 `a Marguerite OlympeGuillon, veuf en 1876, 3 enfants 1 gar¸con et deux filles.– Aptitude particuli`ere : goˆut scientifique.– le 16 f´evrier 1894, ray´e des cadres de l’arm´ee et d´egag´e de toute obligation militaire. henri-auguste delannoy, une biographie 31Lettres de recommandation (rapports par son chef)1887 Fonctionnaire tr`es m´eritant et tr`es exp´eriment´e, d’un jugement sˆur, dou´e d’ini-tiative et prudent dans les relations de service. Propos´e pour le grade d’intendantmilitaire.1888 excellent fonctionnaire sous tous les rapports : instruction hors ligne, grandeexp´erience d’administration, jugement sˆur, initiative, prudence dans les relations deservice, d´evouement complet. `A nommer intendant militaire.Henri Delannoy demande `a ˆetre mis `a la retraite fin 1888 et l’obtient le 9 janvier1889. Contrairement `a l’usage, aucune mention de d´ec`es ne figure dans le dossier, cequi peut s’expliquer par la perte d’une partie du dossier, fait rare mais vraisemblablevu la date de ce d´ec`es (1915).Louis Lacrocq nous donne encore quelques pr´ecisions [Lacrocq, 1915] : au sortirde son ´ecole d’application, H.-A. Delannoy est nomm´e lieutenant au 7er´egimentd’artillerie, puis il rejoint le corps d’artillerie `a pied de la Garde imp´eriale, aveclequel il fait la campagne d’Italie dans la 9ebatterie, en 1859. Embarqu´e le 24 mai`a Marseille sur l’Egyptien pour Gˆenes, il rejoint Milan par la route. Le 24 juin, ilparticipe `a la bataille de Solf´erino. Puis il est en cantonnement `a Brescia et au lacde Garde avant de revenir en France par les Alpes. Nomm´e capitaine `a l’´etat-majorparticulier de l’artillerie, Henri Delannoy est d´etach´e aux Forges du Centre, `a Nevers.Henri Delannoy d´ebute sa carri`ere d’intendant militaire `a Limoges avant d’ˆetreenvoy´e `a Alger puis `a Sidi-bel-Abb`es. L’intendance y ayant alors la gestion adminis-trative du service de sant´e, c’est `a lui que revient la gestion de l’´epid´emie de typhus.Son initiative et son courage lui valurent la croix de la l´egion d’honneur en 1868. Ilquitte l’Alg´erie en octobre 1869 pour rejoindre Limoges comme adjoint de premi`ereclasse.On ne sait apparemment rien concernant les deux missions d’une journ´ee chacuneen Allemagne encadrant le conflit franco-allemand de 1870, mais on peut l´egitime-ment s’interroger sur le but de ces missions et le rˆole de Delannoy, sachant qu’ilconnaissait bien la langue allemande. La premi`ere mission a lieu le 26 juillet 1870,c’est-`a-dire apr`es la d´eclaration de guerre de la France, dat´ee du 17 et notifi´ee `aBerlin le 19 juillet 1870 mais avant le d´eclenchement des hostilit´es du 2 aoˆut 1870.Sa deuxi`eme mission, le 7 mars 1871 se situe trois jours avant la signature du trait´ede Londres qui clˆot cet ´episode. Entre temps, il rejoint l’arm´ee de Chˆalon avec le6ecorps puis est rattach´e au 12ecorps. Il ´echappe `a la capitulation de Sedan (1erseptembre) grˆace au statut de neutralit´e des ambulances. Puis il sert dans l’arm´eede la Loire puis de l’Est11.Au retour de la paix, il est nomm´e `a Gu´eret et promu `a la 2eclasse des sous-intendants. Il part `a Lille puis Angoulˆeme. Enfin, c’est `a Orl´eans qu’il occupe le postede sous-intendant de 1re classe de 1881 `a 1888. Sans attendre l’ultime promotiond’intendant, il d´emissionne pour revenir d´efinitivement s’installer `a Gu´eret.11 Lucas ´etait officier d’artillerie de l’arm´ee de la Loire 22ebatterie du 8er´egiment [D´ecaillot,1998] ; il ne semble pas avoir rencontr´e Delannoy `a cette ´epoque. 32 s. r. schwer, j.-m. autebert2.3. Le math´ematicienLa premi`ere trace de l’activit´e math´ematique que nous ayons d’Henri Delannoy12 estune lettre du 29 janvier 188113 de la direction de la Revue Scientifique de la Franceet de l’ ´Etranger que nous reproduisons ici :Monsieur et cher Camarade,J’aurais ´et´e tr`es heureux d’ins´erer dans la Revue votre ´etude sur le Taquin, sijustement un article sur le mˆeme sujet ne venait pas d’ˆetre compos´e et mˆemecorrig´e en placard.Vous aurez sous peu l’occasion de le lire, et l’auteur en est encore M. Lucas.Peut-ˆetre aurez-vous, apr`es l’avoir lu, quelques remarques int´eressantes `a faire– et je serais tout dispos´e `a ins´erer une lettre que vous pourriez ´ecrire `a cetteoccasion.Veuillez agr´eer, avec mes regrets, l’assurrance de ma consid´eration la plusdistingu´ee.Antoine Breguet.L’article mentionn´e paraˆıtra le 18 juin 1881 dans les pages 783–788. C’est lasixi`eme r´ecr´eation, elle est intitul´ee Sur le jeu de Taquin ou du casse-tˆete am´eri-cain14. La premi`ere r´ecr´eation a paru le 16 aoˆut 1879. Elle concerne le jeu de dames `ala polonaise. La rubrique, intitul´ee uniquement R´ecr´eations scientifiques sur l’arith-m´etique et sur la g´eom´etrie de situation admet en exergue l’extrait suivant de lalettre du 17 janvier 1716 que Leibniz adresse `a M. de Montmort :Apr`es les jeux qui d´ependent uniquement des nombres, viennent les jeux o`uentrent encore la situation, comme dans le trictrac, dans les dames et surtoutdans les ´echecs. Le jeu nomm´e le solitaire m’a plu assez. Je l’ai pris d’unemani`ere renvers´ee, c’est-`a-dire, au lieu de d´efaire un compos´e de deux pi`eces,selon la loi de ce jeu, qui est de sauter dans une place vide et d’ˆoter la pi`ece surlaquelle on saute, j’ai cru qu’il serait plus beau de r´etablir ce qui a ´et´e d´efait,en remplissant un trou sur lequel on saute ; et par ce moyen, on pourrait seproposer de former une telle ou telle figure propos´ee, si elle est faisable, commeelle l’est sans doute si elle est d´efaisable. Mais `a quoi bon cela ? dira-t-on. Jer´eponds : A perfectionner l’art d’inventer. Car il faudrait avoir des m´ethodespour venir `a bout de tout ce qui ne peut trouver par raison.En poste `a Orl´eans, comme sous-intendant, Delannoy lit quelques-unes de ces re-vues de vulgarisation scientifique, parmi lesquelles la Revue Scientifique de la Franceet de l’ ´Etranger, fond´ee `a Paris en 1871 par Antoine Br´eguet et Charles Richet. Ily aura envoy´e sa propre solution pour y ˆetre int´egr´ee dans la rubrique Math´ema-tiques, R´ecr´eations scientifiques sur l’arithm´etique et sur la g´eom´etrie de situation.12 Le math´ematicien signera toujours H. Delannoy.13 Cf. bibliographie, Archives de la Soci´et´e des sciences naturelles et d’arch´eologie de la Creuse.14 Ce jeu, imagin´e par un am´ericain quelque 18 mois auparavant, a ´et´e pr´esent´e au congr`es deReims de l’Association Fran¸caise pour l’Avancement des Sciences (A.F.A.S.) et repris, sous le nomde double Casse-tˆete gaulois en France par de nombreux journaux politiques ou illustr´es. henri-auguste delannoy, une biographie 33Suite `a ce refus, nous ne poss´edons malheureusement pas la solution de Delannoy.La pr´esence du mot encore semble indiquer que le nom de Lucas avait ´et´e men-tionn´e par Delannoy dans sa lettre. Ces deux personnages ne s’´etaient jusqu’alorspas rencontr´es, mais il apparaˆıt certain que Delannoy devient vite l’assistant id´eal del’arithm´eticien Edouard Lucas, son cadet de 9 ans, lequel, bien que normalien, a eudes relations tr`es difficiles avec le milieu acad´emique. En effet, comme le dit Anne-Marie D´ecaillot [1998] dans sa th`ese, Lucas aborde par des voies inattendues, desprobl`emes ´etudi´es par ses contemporains, tr`es souvent de fa¸con astucieuse, int´egrantles jeux, les machines, les satins, sans souci de l’ordre ´etabli au sein de l’Universit´e .C’est donc au sein d’une association comme l’A.F.A.S que Lucas trouve un auditoireet des interlocuteurs `a sa mesure [D´ecaillot, 2002]. Cr´e´ee aux lendemains de la d´e-faite fran¸caise de 1870 par l’action conjointe de savants, de banquiers, d’industriels,l’A.F.A.S. tient, `a partir de 1872, des congr`es annuels dans des villes de provinceauxquels sont convi´es sous sa banni`ere Par la science, pour la patrie tout `a lafois les savants les plus prestigieux , fran¸cais comme ´etrangers, les amateursde sciences , mais aussi, cˆot´e public, les classes riches et oisives ainsi que lesclasses laborieuses [Gispert, 2002]. On y rencontre des ing´enieurs comme HenriGenaille, le d´eput´e et mat´ematicien Charles-Ange Laisant, des militaires comme leColonel Moreau, le G´en´eral Franco-Russe Michel Frolow, le capitaine de vaisseauL. Chambeyron, des universitaires ´etrangers comme M. Mantel de Delf, Eug`eneCatalan de Li`ege, les Anglais James-Joseph Sylvester et Arthur Cayley, PafnutiLvovich Tchebychev de Russie, des enseignants comme l’abb´e Jolivard ou GeorgesMaupin, un contrˆoleur des contributions `a Alger comme G. Tarry, . . . [D´ecaillot,2002]. Laisant et Lemoine font partie des hommes forts des bureaux administratifsde l’AFAS de cette p´eriode [Gisbert, 2002]. Tous ces noms figurent dans la corres-pondance passive de Delannoy15.D`es 1881, plusieurs math´ematiciens sont mis en relation avec Henri Delannoy,par l’entremise d’Edouard Lucas. Il s’agit soit de faire v´erifier une solution, soit dedemander des renseignements bibliographiques, soit de regarder un probl`eme pos´edans une revue. Plusieurs articles de Lucas mentionnent les solutions astucieuses demon ami Delannoy ! Edouard Lucas, d´ebord´e par son travail d’enseignant de classespr´eparatoires et de chercheur f´econd, d´el`egue `a Henri Delannoy toutes les questionsqui int´eressent ce dernier et fait ´egalement appel `a lui pour l’aider dans ses calculs.Si nous ne disposons d’aucune correspondance entre Lucas et Delannoy, ce der-nier ayant remis toutes les lettres de Lucas qu’il poss´edait `a Laisant qui eut untemps – peu apr`es le d´ec`es accidentel de Lucas – l’id´ee de publier un recueil desa correspondance16, Lucas t´emoigne `a plusieurs reprises dans ses publications del’amiti´e qui les lie : en mai 1891, dans l’avant-dernier paragraphe de sa pr´eface de lar´e´edition du premier volume de ses R´ecr´eations math´ematiques [Lucas, 1891(b)] :Souvent j’aurai `a enregistrer de gracieuses communications : remarques in-g´enieuses, solutions ´el´egantes ; chaque fois que l’occasion s’en pr´esentera, je15 cf. note 13.16 La famille de Laisant a mis en vente aux ench`eres en 2002 un paquet important de lettresposs´ed´ees par Laisant, mais parmi celles-ci aucune de Delannoy ou de Lucas. 34 s. r. schwer, j.-m. autebertciterai les noms17. Mais d`es `a pr´esent, j’adresse mes plus vifs remerciements`a mon ami sinc`ere et d´evou´e, Henri Delannoy, qui a contribu´e pour la plusgrande part `a la seconde ´edition de cet ouvrage.Cette amiti´e est si profonde que Delannoy, apr`es la mort de Lucas, sera celui quifera le travail effectif que Lucas aurait fait ou lui aurait demand´e de faire, comme ent´emoigne son travail pour la publication des œuvres posthumes des r´ecr´eations ma-th´ematiques de Lucas [Autebert, D´ecaillot, Schwer, 2003] ainsi que ses nombreusesinterventions dans l’Interm´ediaire des Math´ematiques.Dans sa lettre du 12 novembre 1882, Laisant invite H. Delannoy `a faire partiede la Soci´et´e Math´ematique de France18 (S.M.F). Lors de la s´eance du 17 novembre1882, M. Delannoy, sous-intendant militaire, est pr´esent´e par Lucas et Laisant, et ilest coopt´e `a la s´eance du premier d´ecembre 1882. Il y cotisera jusqu’en 1905.Cette ´epoque correspond `a une transformation importante de l’organisation dumonde des math´ematiciens, que l’on peut suivre `a la lecture des Index du R´epertoireBibliographique des Sciences Math´ematiques 19 de 1889 `a 1916 [Commission . . . ]. Eneffet, ses travaux rel`event jusqu’en 1898 des derni`eres sections de l’Analyse math´e-matique (I, J) et de la premi`ere section de g´eom´etrie (Q) : plus pr´ecis´ement des :Classe I : Arithm´etique et th´eorie des nombres; . . .I 2 : Propri´et´es g´en´erales et ´el´ementaires des nombresI 2 b : g´en´eralit´es ´el´ementaires sur les nombres premiers et premiers entre eux, caract`eres dedivisibilit´eI 2 b α: D´ecomposition d’un nombre en facteurs premiers, proc´ed´es divers.I 10 : Partition des nombres.I 13 b : α: D´ecomposition en une somme de deux carr´es.I 17 : Repr´esentation des nombres par les formes quadratiques.I 17 a : Repr´esentation des nombres par une forme quadratique d´efinie.I 17 b : D´ecomposition d’un nombre en une somme de 4 carr´es.I 17 c : D´ecomposition d’un nombre en une somme de 3 carr´es.17 Ils ont noms – par ordre de premi`ere apparition – Cadet de Fontenay, Tr´emaux, Maurice,de La No¨e, Th. Parmentier, G¨unther, Laqui`ere, Hermary, Gros, Laisant, Delannoy, Botton, Tarry,Mantel, Redon.18 Fond´ee en 1872, cette soci´et´e savante impose `a cette ´epoque les conditions suivantes pour endevenir membre : (i) ˆetre pr´esent´e par deux membres qui auront adress´e une demande sign´ee, (ii)obtenir `a l’une des s´eances suivantes les suffrages de la majorit´e des membres pr´esents. Son pr´esidentest ´elu pour un an et non imm´ediatement r´e´eligible, il est second´e par quatre vices-pr´esidents ´eluspour deux ans. Laisant y entre en 1874, sous le titre de capitaine du g´enie `a Tours ; Lucas en 1875sous le titre de professeur `a Moulins. Laisant en sera pr´esident en 1888, vice-pr´esident en 1880-1881et continˆument membre du conseil de 1882 `a 1908, Lucas en sera vice-pr´esident de 1882 `a 1885.19 Sous l’impulsion de la S.M.F., une commission internationale du R´epertoire est cr´e´ee pararr´et´es minist´eriels (09/11/1888 et 01/03/1889) et confi´e `a la pr´esidence d’Henri Poincar´e. Ledomaine math´ematique est d´ecoup´e en trois : Analyse (classes A `a J), G´eom´etrie (classes K `aQ) et Math´ematiques appliqu´ees (classes R `a X), refl´etant de fait une certaine hi´erarchisation destravaux math´ematiques. La SMF en conservera la pr´esidence jusqu’en 1898. En 1908, le r´epertoireest remani´e par la Soci´et´e Math´ematique d’Amsterdam. henri-auguste delannoy, une biographie 35I 17 e : Repr´esentation d’une forme `a nvariables.I 18 : Formes de degr´e quelconque.I 18 c : Repr´esentation d’un nombre ou plusieurs nombres par une ou plusieurs formes.I 19 : Analyse ind´etermin´ee d’ordre sup´erieur au premier.I 19 b : Dernier th´eor`eme de Fermat xp+yq=zp.I 19 c : Autres ´equations ind´etermin´ees.I 25 b : Classes de nombres remarquables (nombres triangulaires, polygonaux, figur´es, parfaits,etc.).Classe J : Combinatoire, probabilit´e, . . .J 1 : Analyse combinatoireJ 1 a : Groupes o`u l’on tient compte de l’ordre ; αPermutations et arrangements de toutessortes, nombres et loi de formation.J 1 a : Groupes o`u l’ordre est indiff´erent ; βCombinaisons r´eguli`eres ; compl`etes.J 2 : Calcul des probabilit´es.Classe Q 4 : g´eom´etrie de situation ou arithm´etique g´eom´etriqueQ 4 a : Th´eoorie des configurations.Q 4 b : Probl`emes sur les jeux d’´echecs, de dominos, etc. ; α. Carr´es magiques.Q 4 c : Probl`emes analogues divers.Classe V : Philosophie et Histoire des Sciences math´ematiques. Biographies de math´ematiciens.V 1 : Consid´erations diverses sur la philosophie des math´ematiques.V 2 : Origine des math´ematiques ; Egypte ; Chald´ee.V 9 : XIXesi`ecle.Classe X : Proc´ed´es de calcul ; Tables .. .X 2 : Principes de construction des Tables de logarithmes, Tables trigonom´etriques, Tablesdiverses, etc.Il semble que c’est la pr´esence de Laisant, en 1898, comme secr´etaire de la com-mission, en tant que repr´esentant de la SMF, qui maintient les sections Q4b et Q4cau sein de la g´eom´etrie. De mˆeme Laisant affiche dans sa lettre `a Lucas du 18 mai189120, sa volont´e d’introduire au vocabulaire de la Grande Encyclop´edie le motEchiquier (math)21. En effet, dans l’´edition de 1908 de l’Index, les sections Q4b etQ4c ont disparu et la classe X (proc´ed´e de calcul) s’enrichie de deux sections X9(machines arithm´etiques) et X10 (donc tout en dernier) sous le terme Jeux et R´e-cr´eations math´ematiques avec :X10 a : Carr´es magiques.X 10 b : Probl`emes sur les jeux d’´echecs, etc.Delannoy a peu publi´e, et toujours sous l’insistance de ses amis. Nous le savonspar sa correspondance passive22, documents qui nous livrent aussi bien d’autresinformations, comme celles pr´esent´ees par [Autebert, D´ecaillot, Schwer, 2003]. C’estpourquoi nous nous proposons de nous y attarder sommairement.20 Cf. Archives de la Soci´et´e des sciences naturelles et d’arch´eologie de la Creuse.21 Il compte sur Delannoy et Lucas pour faire le travail, et Lucas a transmis cette lettre `aDelannoy pour qu’il la traite. Nous reproduisons le texte paru en 3.1.22 Ibid. 36 s. r. schwer, j.-m. autebert2.3.1. La correspondance passive de Delannoy et ses domaines d’int´erˆetC’est donc par les R´ecr´eations math´ematiques de Lucas qu’Henri Delannoy a com-menc´e sa carri`ere de math´ematicien, sur un probl`eme de g´eom´etrie de situation, quel’on peut r´esoudre `a l’aide d’un ´echiquier. C’est aussi ce qui l’a conduit `a la post´erit´e[Weisstein, 2000 ; Dickau ; Banderier, Schwer, 2005]. Sa correspondance passive et lecontenu de sa biblioth`eque math´ematique23 nous indiquent que les domaines d’in-t´erˆets de H. Delannoy sont les carr´es magiques, les r´ecr´eations math´ematiques, lath´eorie des jeux, l’alg`ebre, l’arithm´etique, les probabilit´es combinatoires. Il poss´edaitentre autres les Oeuvres de Fermat, l’Alg`ebre et les Lettres d’Euler, les RecherchesArithm´etiques de Gauss, The doctrine of Chance de de Moivre, plusieurs livres de r´e-cr´eations math´ematiques dont ceux de Ozanam, Bachet, Rouse-Ball. Il ´etait abonn´eau Bulletin de la Soci´et´e Math´ematique de France (1872-1905), au Messenger ofMathematics (1879-1904) et `a l’Interm´ediaire des Math´ematiciens (1894-1910).C’est ainsi qu’on apprend que l’int´erˆet de Delannoy pour le calcul des probabilit´esprend sa source ´egalement dans ces r´ecr´eations math´ematiques, comme le rappelleHenri Fleury dans sa lettre du 9 juillet 189824Vous m’avez dit que c’est `a l’occasion des jeux expliqu´es dans l’ouvrage deLucas que vous ˆetes revenu aux math´ematiques depuis longtemps d´elaiss´ees,sinon oubli´ees. La th´eorie de ces jeux vous conduisait naturellement `a desquestions de probabilit´e.La correspondance passive de Delannoy a ´et´e simplement tri´ee par Louis Lacrocq[1915] par liasses correspondant en gros aux noms des correspondants25.La correspondance est continue de 1881 `a 1902, En 1904, Arnould lui demandeses travaux sur les carr´es magiques, Delannoy lui fait parvenir le livre de Frolow[1886], puis il lui demande l’article de Lucas sur les tissages. En 1906, Delannoy23 Henri Delannoy a l´egu´e `a la biblioth`eque municipale de Gu´eret l’ensemble de sa biblioth`equede Math´ematiques, qui n’en a rien fait, et dont la trace avait ´et´e perdue. Nous en avons retrouv´eune grande partie aux Archives D´epartementales de la Creuse (cf. l’annexe). La correspondancepassive math´ematique a ´et´e remis par ses enfants `a la Soci´et´e d’Histoire Naturelle et d’Arch´eologiede la Creuse, qui l’a soigneusement conserv´ee depuis lors.24 Cf. Archives de la Soci´et´e des sciences naturelles et d’arch´eologie de la Creuse.25 L1 correspondances relatives `a la publication des œuvres posthumes d’Edouard Lucas ; L2Arnous de Rivi`ere, de Paris (1887-1904) ; L3 docteur Bougon, de Paris (1882-1898); L4 Catalan,de Li`ege (1890-1891) ; L5 Chambeyrou, capitaine de vaisseau `a Lorient (1887) ; L6 V. Coccoz, deParis (1885-1892) ; L7 Feisthamel, de Paris (1885-1888) ; L8 Henri Fleury, de Paris (1893-1899);L9 Flye, de Vitry-le-Fran¸cois (1894-1898) ; L10 le G´en´eral Frolow, de P´etrograd (1885-1896) ;L11 abb´e Jolivald, de Mandern (Lorraine annex´ee) (1887-1896) ; L12 Lagui`ere, de Sidi-bel-Abb`es(1881-1882) ; L13 Laisant, docteur `es-sciences, d´eput´e de la Seine (1882-1898) ; L14 Laterrade,ing´enieur en chef, `a Mirone, commune de Condom (1887-1891) ; L15 Emile Lemoine, directeurde l’Interm´ediaire des math´ematiciens, de Paris (1884-1899) ; L16 M. Mantel, de Delft (Hollande)(1887-1892), L17 Colonel Moreau, de Poitiers (1893-1901); L18 Sauvageot, de Dijon (1881) ; L19G. Tarry, d’Alger (1885-1895) ; L20 Correspondances diverses. Dans la liasse 20, nous avons trouv´eMonsieur Arnould, directeur de l’´Ecole des Hautes ´Etudes Industrielles `a Lille (1904-1905),Courtonne, directeur de la fabrica de Almidon (Barcelone) (1912), Georges Maupin, Simmonsde Grimsby (1897-1898), Brocard (1894), Tannery (1895), Rauis de Bruxelle (1887), Reuss deStrasbourg (1884-1887), Alexander MacFarlane, University of Texas (1894), Robert Mouvat (1894),Frost (1889), Rilly (1906), Biligne (1891), Henri Herzog (1898). henri-auguste delannoy, une biographie 37re¸coit de Rilly une ´Etude sur la polygraphie du cavalier, sym´etrie lat´erale en deuxchaˆınes ferm´ees. Enfin les 5 et 12 septembre 1912, Courtonne lui ´ecrit au sujet desquadrilles de dominos parus dans le second volume des R´ecr´eations math´ematiquesde Lucas.Tout au long de ces ann´ees, Delannoy est sollicit´e au sujet des carr´es magiqueset de divers jeux math´ematiques. Le travail avec les ´echiquiers est mentionn´e pourla premi`ere fois dans la lettre du 12 mars 1885, en provenance d’Alger, deGaston Tarry, alors contrˆoleur des contributions, concernant un calcul de (2nn)n+1 parles triangles arithm´etiques. Une correspondance suivie jusqu’en 1890 entre les deuxhommes concernera les d´eplacements du Roi, puis de la Tour. Dans sa lettre du9 avril 1886, Tarry ´ecrit :En d´emontrant votre lemme, non seulement vous trouvez une d´emonstra-tion bien sup´erieure `a la mienne (car vous ´evitez la consid´eration des for-mules), mais encore vous trouvez la formule g´en´erale remarquable suivanteTxy =x+yx−x+yx−1.L’utilisation d’un ´echiquier pour r´esoudre le probl`eme est une id´ee soumise`a Delannoy par Gaston Tarry qui a montr´e que ce prob`eme revient `a trouver lenombre de mani`eres dont une tour peut se rendre d’une extr´emit´e `a l’autre de l’hy-poth´enuse d’un ´echiquier triangulaire de n+1 cases de cˆot´e en progressant toujoursvers son but (c’est le nombre de chemins minimaux). Mais Gaston Tarry n’est pasle seul `a cette ´epoque `a proposer ce moyen. En effet, Whitworth [1878] d`es 1878,introduit, pour r´esoudre des probl`emes de probabilit´e combinatoire concernant lespriorit´es, la notion de chemin associ´e. Mais la r´esolution num´erique se fait par lam´ethode des diff´erences finies, si ch`ere `a Catalan [1838 ; 1839 ; 1887], et d´ej`a utilis´eepar Segner [1759] et Euler [1759] pour la triangulation des polygones r´eguliers. Maisc’est Delannoy qui en fait le calcul en donnant les formules de passages entre ´echi-quiers arithm´etiques carr´es et un ´echiquier arithm´etique triangulaire, comme nousle verrons ult´erieurement.Avant d’examiner les travaux math´ematiques de Delannoy, nous terminons cettepartie par la derni`ere p´eriode de sa vie, qu’il consacra `a l’histoire locale du Gu´er´etois.2.4. L’historienRentr´e dans son fief de Gu´eret au d´ebut de 1889, H.-A. Delannoy26 adh`ere `a laSoci´et´e d’Arch´eologie et des Sciences Naturelles de la Creuse le 20 juin 1889 commesimple membre, sans participer aux recherches int´eressant la Soci´et´e. Sa famille, la26 Cet ´episode de la vie de Delannoy nous paraˆıt ´egalement tr`es riche. Nous n’avons pas, malheu-reusement, les comp´etences pour en tirer toute la richesse, mais nous ne pouvions pas le passer soussilence non plus. C’est pourquoi, en nous r´ef´erant au texte de Lacrocq [1915] et `a nos discussionsavec Monsieur Saint-James, secr´etaire de la Soci´et´e, et de membres de la famille de Delannoy, nousdonnons un aper¸cu modeste de cette p´eriode. Nous esp´erons trouver `a l’universit´e de Limoges, uncoll`egue historien int´eress´e par le sujet. 38 s. r. schwer, j.-m. autebertchasse et les math´ematiques occupent son temps. Le 21 mai 1896, il est ´elu, en sonabsence, pr´esident de la Soci´et´e [Lacrocq, 1915].2.4.1. La Soci´et´e savanteL’histoire de la soci´et´e nous est r´esum´ee par Solange Pinton [2000]. En 1829, deux no-tables de Gu´eret, Joseph-Fran¸cois Roudaire, propri´etaire et naturaliste amateur quia suivi `a Paris les cours de Cuvier et de Geoffroy Saint-Hilaire, et Fran¸cois Bonna-foux, un n´egociant, passionn´e de botanique et d’arch´eologie, d´ecident de r´eunir dansun mˆeme local leurs collections : c’est la cr´eation du cabinet des sciences naturelleset des antiquit´es. En 1832, ils s’associent `a cinq autres personnes – un ing´enieur desmines, un imprimeur, un architecte, un m´edecin et un inspecteur des ponts et chaus-s´ees – pour fonder la Soci´et´e d’histoire naturelle de Gu´eret dont les premiers statutspr´ecisent qu’elle a pour but unique l’´etude et les progr`es des sciences naturelles[. . . ]. Il sera r´euni une collection des diff´erents r`egnes de la nature, de pr´eparationsartificielles, d’instruments de physique, d’agents chimiques, de dessins et d’ouvragesscientifiques. Nonobstant le titre et le but de la Soci´et´e, les objets d’art et d’anti-quit´es pourront faire partie de la collection. Lorsque les ressources le permettront, ilsera avis´e aux moyens de joindre un jardin botanique `a l’´etablissement et de profes-ser des cours publics [Hugon, 1932, p. 31]. En 1833, la Soci´et´e d’histoire naturellede Gu´eret devient la Soci´et´e des sciences naturelles et d’antiquit´es de la Creuse,dans le but explicite de donner une plus grande extension `a son titre et `a son ob-jet [Hugon, 1932, p. 33]. Les cinq domaines de recherche de la soci´et´e savante sontla zoologie, la botanique, la min´eralogie et la g´eologie, la physique, la chimie et lam´et´eorologie, l’arch´eologie. En 1852, la Soci´et´e des sciences naturelles et des antiqui-t´es de la Creuse prend le nom de Soci´et´e des sciences naturelles et arch´eologiques dela Creuse. Parall`element le Cabinet des sciences naturelles et des antiquit´es devientle Mus´ee d’histoire naturelle et d’arch´eologie. En 1837, la municipalit´e de Gu´eret de-vient propri´etaire des collections. La Soci´et´e en gardera cependant l’entier contrˆolepuisque les conservateurs, nomm´es par le conseil municipal, seront choisis parmi sesmembres. Ce n’est qu’en 1970 que cet accord prendra fin et que sera nomm´e unconservateur en titre. En 2003 la soci´et´e devient la Soci´et´e des Sciences Naturelles,arch´eologiques et historiques de la Creuse. Dans ses statuts, les derni`eres r´ef´erencesau mus´ee sont supprim´ees [Larduinat].2.4.2. Le rˆole de DelannoyL’´election de Delannoy comme pr´esident de la soci´et´e savante est le fruit de dissen-sions graves entre ses membres. Il a accept´e cette charge publique dans un souci decompromis pour permettre `a la Soci´et´e Creusoise de fonctionner sereinement.Devenu Pr´esident de la Soci´et´e, H.-A. Delannoy se fait alors un devoir de colla-borer `a ses activit´es. Il entreprend alors une ´etude syst´ematique de l’histoire localecreusoise et limousine, fr´equentant assidˆument les Archives d´epartementales, les re-gistres paroissiaux et devient, alors sexag´enaire, un pal´eographe averti [Lacrocq,1915]. Sa premi`ere publication concerne l’´epigraphie, plus pr´ecis´ement le mot cel-tique ieuru dans Sur la signification du mot ieuru (avec planche). Mais c’est prin- henri-auguste delannoy, une biographie 39cipalement comme historien qu’H.-A. Delannoy s’est illustr´e, devenant notammentun sp´ecialiste reconnu de l’histoire monastique. De mˆeme que nous le reverrons dansson travail math´ematique, H. A. Delannoy ne publie pas de son propre chef dansdes revues sp´ecialis´ees. C’est ainsi que parmi ses 29 publications – parues entre 1898et 1914 – une seule n’est pas publi´ee comme M´emoire de la Soci´et´e, mais dans lebulletin du Mus´ee municipal de Chˆateauroux (30 juin 1902), celle concernant l’ab-baye d’Aubignac (dioc`ese de Bourges). Les autres paraissent dans les M´emoires dela Soci´et´e27.3. LES TRAVAUX MATH ´EMATIQUES DE DELANNOYNous listons ci-dessous les publications math´ematiques de Delannoy, et donnons dechaque article une description succinte. Nous mettons `a part les contributions deDelannoy `a l’Interm´ediaire des Math´ematiciens et les r´ef´erences faites `a ses travaux.3.1. Les publicationsSelon Lacrocq [1915, p. 570-571], H. Delannoy a fait neuf publications math´ema-tiques, publications qu’il a r´euni en un volume dont il a offert un exemplaire `a laSoci´et des sciences naturelles et arch´eologiques de la Creuse. En fait, il en existeau moins deux autres : l’une d´eclar´ee perdue dans [Banderier, Schwer, 2005] a parudans le Journal de math´ematiques ´el´ementaires et l’autre a paru dans une revue dechimie. A contrario, un article souvent attribu´e `a Delannoy correspond en fait `a unepublication de Lucas.–Emploi de l’´echiquier pour la solution de probl`emes arithm´etiques [Delannoy,1886] : Delannoy donne un nouvel exemple de l’emploi de l’´echiquier pour desprobl`emes de calcul arithm´etiques, rench´erissant ainsi sur l’article de Lucas[1883]. Lucas avait trait´e des permutations figur´ees, Delannoy consid`ere lenombre de mani`eres de disposer 2nnombres sur deux rang´ees de nnombres,de telle sorte que les nombres croissent toujours de gauche `a droite et de hauten bas.–Sur la dur´ee du jeu [Delannoy, 1988] : cet article est en r´ef´erence `a une notede M. Rouch´e au CRASS [Rouch´e, 1888]. Il s’agit de donner une solution aufameux probl`eme de la ruine du joueur. Bertrand [1887] et Rouch´e ont remisle probl`eme de Huygens au goˆut du jour en publiant plusieurs articles dans lesComptes Rendus de l’Acad´emie des Sciences de Paris sous la forme suivante :Pierre et Paul joue l’un contre l’autre avec des chances ´egales. Ils poss`edentchacun nfrancs avant d’entr´ee au jeu ; `a chaque partie, le perdant donne 1fr.au gagnant et le jeu ne cesse que lorsque l’un des deux joueurs est ruin´e. Quelleest la probabilit´e Ppour que le jeu se termine juste `a la fin d’une partie de rangassign´e ? Au lieu d’utiliser des m´ethodes analytiques conduisant au bout delongs calculs `a des formules appel´ees par Lucas illusoires car difficiles `a ´evaluernum´eriquement, Delannoy fournit une solution sous forme de d´eplacements par27 Elles sont r´epertori´ees sur le site de la Soci´et´e :http ://www.ssnah23.org/contributeurs.php ?auteur=63 40 s. r. schwer, j.-m. autebertpas horizontaux (pour les pertes) et par pas verticaux (pour les gains) d’unetour sur un ´echiquier hexagonal.–Emploi de l’´echiquier pour la r´esolution de divers probl`emes de probalilit´es[Delannoy 1889] : c’est le premier article dans lequel Delannoy pr´esente la th´eo-rie des ´echiquiers de formes diverses : ´echiquier carr´e, triangulaire, pentagonalet hexagonal, aussi bien pour la marche de la Tour par pas de un, que pourcelle de la Reine. L’id´ee de g´en´eraliser `a la Reine vient de Laisant, qui a ajout´eau vocabulaire de la Grande Encyclop´edie le terme Echiquier (math) (cf. [LaGrande Encyclop´edie, inventaire raisonn´e des sciences, des lettres et des arts,T. 15, p. 317]) ´ecrit28 :On donne le nom d’´echiquiers arithm´etiques `a des tableaux num´eriques,habituellement de forme carr´ee ou rectangulaire, pr´esentant des casesanalogues `a celles d’un papier quadrill´e. Dans chacune de ces cases estinscrit un nombre qui se forme d’apr`es une loi d´etermin´ee. M. Ed. Lucasa montr´e le premier toute l’utilit´e de l’´echiquier dans un grand nombre derecherches arithm´etiques, soit pour simplifier les d´emonstrations de th´eo-r`emes connus, soit pour en d´ecouvrir de nouveaux, soit pour r´esoudrecertains probl`emes ; il y a lieu surtout de citer sa th´eorie des permuta-tions figur´ees. Plus tard, M. Delannoy imagina de faire varier la forme del’´echiquier ; par la consid´eration d’´echiquiers triangulaires, pentagonaux,hexagonaux, il parvint `a r´esoudre simplement des probl`emes difficiles, etnotamment des questions de probabilit´es. Citons seulement ici quelquesexemples : (1) sur un damier dont la largeur pr´esente un nombre donn´ede cases, et dont la longueur est ind´efinie, par combien de chemins diff´e-rents un pion qui ne recule jamais peut-il se rendre d’une case donn´ee `aune autre? (2) probl`eme sur la dur´ee du jeu : Pierre et Paul jouent l’uncontre l’autre `a chances ´egales ; en entrant au jeu, chacun d’eux poss`eden fr., et, `a chaque partie, le perdant donne 1 fr. au gagnant. Le jeu setermine d`es que l’un des deux joueurs est ruin´e. Quelle est la probabilit´eque le jeu se terminera apr`es la nepartie ? (3) A et B jouent l’un contrel’autre, avec les probabilit´es respectives pet q, de sorte que p+q=1 , Aposs`ede a fr. et B poss`ede b fr. en entrant au jeu ; `a chaque partie leperdant donne 1 fr. au gagnant. Quelle est la probabilit´e que A ruineraB avant la nepartie? Ces questions ont ´et´e ´etudi´ees par des g´eom`etresde grande valeur, parmi lesquels nous pouvons citer Huyghens, Moivre,Laplace, Lagrange, Amp`ere, MM. Bertrand, Rouch´e, Hermann, Laurent,et conduisent, par des m´ethodes ordinaires, `a des formules extrˆemementcompliqu´ees, parfois illusoires. L’´echiquier, au contraire, donne des solu-tions presque imm´ediates et relativement simples. ...28 Dans les r´ef´erences bibliographiques, ce n’est pas Delannoy qui est cit´e, mais par une mal-heureuse attraction homonymique, un autre math´ematicien, Delaunay, a qui est attribu´e les deuxpremiers articles de Delannoy sur les ´echiquiers, celui de 1886 et de 1889, ce qui date la fabricationde cet article entre 1889 et 1895. henri-auguste delannoy, une biographie 41Delannoy illustre sa th´eorie avec six exemples pour la tour et un seul pour lareine, la probabilit´e pour deux joueurs d’´echecs de jouer 2nparties effectives(sans partie nulle, en marquant chaque partie gagn´ee et chaque partie perdue,une partie nulle ´etant `a la fois gagn´ee et perdue). Mais cet article est tr`essuccinct, les formules sont donn´ees sans explication et Catalan29 ´ecrit [1892,p. 70] :Il ne nous a pas ´et´e possible de saisir les consid´erations auxquelles a eurecours M. Delannoy ; elles sont relatives `a la marche de la tour sur un´echiquier hexagonal.–Probl`emes divers concernant le jeu [Delannoy, 1890(a)] : Delannoy y donneune solution nouvelle de l’approximation de 1√2π√2n, puis les solutions auxprobl`emes de probabilit´e suivants :(1) Si deux joueurs ayant des chances ´egales font A parties, quel est le nombremoyen d’´equilibres (nombre de parties gagn´ees = nombre de parties perdues)qui peuvent avoir lieu pendant ces A parties.(2) Sur un jeu de 32 cartes bien m´el´ees, combien doit-on trouver de groupesde 2, de 3, . . . , de 8 cartes de mˆemes couleurs.–Formules relatives aux coefficients du binˆome [Delannoy, 1890(b)] : Delannoyobtient, avec des consid´erations sur les pertes et les gains, les formules sui-vantes :Σ(p−2k)pk=qpq,(k= 0,1,2, . . . , q −1)Σ(−1)k(p−2k)pk= (−1)q−1q(p−2q+1)p−1pq,Σ(−1)k(a+kr)pk= (−1)q−1qp(p−1) [pr(q−1) + a(p−1)]pq,Σ(p−2k)2pk=p.2p(k= 0,1,2, . . . , p),Σ(p−2k)(p−2k±1)pk=p.2p.–Sur le nombre d’isom`eres possibles dans une mol´ecule carbonn´ee [Delannoy,1894] : Cette publication est dat´ee par Lacrocq vers 1892, mais les lettres des20, 22 et 31 janvier 1894 de Lemoine (cf. [Archives de la Soci´et´e des sciencesnaturelles et d’arch´eologie de la Creuse]) en d´eterminent la parution `a l’ann´ee1894, comme la publication suivante. En effet, Friedel30 pose en 1894 dansl’Interm´ediaire des Math´ematiciens la question Q.20 [J1b] :´Etant donn´ees nboules garnies chacune de quatre crochets plac´es sym´e-triquement, trouver le nombre des arrangements possibles des nboulesaccroch´ees les unes aux autres de fa¸con `a former un ensemble, chaqueboule ´etant attach´ee au moins `a une autre et pouvant en recevoir jusqu’`aquatre.Ce probl`eme a ´et´e r´esolu par Cayley [1875]. Mais il serait int´eres-sant pour les chimistes de savoir, d’abord s’il existe une m´ethode g´en´e-29 Deux lettres de Catalan figurent dans la correspondance passive de Delannoy (cf. [Archivesde la Soci´et´e des sciences naturelles et d’arch´eologie de la Creuse]), dans la premi`ere, dat´ee du 23mai 1890, il ´ecrit : `a vrai dire, nous sommes deux chercheurs, et dans le cas actuel, au moins, vousˆetes en plus un trouveur. Il n’y est pas pr´ecis´e la raison de cet ´eloge.30 Il s’agit de Charles Friedel(1832-1899), chimiste, acad´emicien. 42 s. r. schwer, j.-m. autebertrale simple de le r´esoudre autrement que par des constructions graphiquesconstruites de proche en proche et dans ce cas d’avoir cette m´ethode. .. .Friedel demande aussi une traduction du travail de Cayley pour une revuede chimie, accessible aux savants qui ne sont pas math´ematiciens. Delannoyenvoie sa solution `a Lemoine, directeur de la publication de l’Interm´ediaire,qui la publie dans le num´ero 5 de l’Interm´ediaire des math´ematiciens et latransmet `a Friedel. Celui-ci propose quelques modifications puis la transmetau bulletin de la Soci´et´e de Chimie. Un article plus d´evelopp´e est pr´evu pourle congr`es de l’AFAS sous le titre :–Sur les arbres g´eom´etriques et leur emploi dans la th´eorie des combinaisonschimiques [Delannoy, 1894(b)].–Sur une question de probabilit´es trait´ee par d’Alembert [Delannoy, 1895]. Apr`esMaupin [1895], qui lui proposait de corriger des erreurs de d’Alembert, sansdoute commises par inadvertance, Delannoy, en reprenant les arguments deBertrand [1889], affirme l’incomp´etence de d’Alembert pour les questions deprobabilit´es. La question de d’Alembert [1784] est la suivante :Pierre tient huit cartes dans ses mains, qui sont un as, un deux, un trois,un quatre, un cinq, un six, un sept et un huit, qu’il a mˆel´ees : Paul parieque, les tirant l’une apr`es l’autre, il les devinera `a mesure qu’il les tirera.On demande combien Pierre doit parier contre un que Paul ne r´eussirapas dans son entreprise.Delannoy propose une solution fond´ee sur le probl`eme des rencontres. Puis ilrectifie une erreur de Montmort [1713, (article Brelan)].–Emploi de l’´echiquier pour la r´esolution de certains probl`emes de probabilit´es[Delannoy, 1895(b)]. Delannoy pr´esente la th´eorie des ´echiquiers arithm´etiquesde fa¸con p´edagogique, puis l’applique aux parcours minimaux de la tour parpas de un puis au parcours minimaux de la reine par pas de un (donc marche duroi). Puis il r´esout 17 probl`emes avec cette m´ethode, dont le fameux probl`emedu scrutin que nous pr´esentons en d´etail dans l’article suivant. Page 77, apr`esavoir trait´e de la marche de la reine, Delannoy ´ecrit :On trouvera moins souvent l’occasion d’appliquer ces formules que lespr´ec´edentes. Pour en faire usage il faut, en effet, que les donn´ees duprobl`eme puissent ˆetre repr´esent´ees par des pas verticaux, horizontaux etobliques sur un ´echiquier, chaque pas oblique ´equivalent `a l’ensemble d’unpas vertical et d’un pas horizontalDes travaux r´ecents sur la repr´esentation et le raisonnement temporel dans lecadre des S-langages [Schwer, 2002] donnent un champ d’application important`a ces formules. Par ailleurs Sulanke [2003] a r´epertori´e quelque 29 collectionsd’objets compt´es par les nombres centraux de l’´echiquier carr´e de la reine.–Sur la probabilit´e des ´ev´enements compos´es [Delannoy, 1898] : Cet article portele mˆeme nom que celui pr´esent´e au congr`es de l’AFAS de 1896 par le R´ev´erentT.-C. Simmons, membre de la Soci´et´e Math´ematique de Londres [Simmons,1897] et est le fruit d’un ´echange ´epistolaire entre les deux chercheurs. Le Rev. henri-auguste delannoy, une biographie 43Simmons n’ayant pas le temps de publier un rectificatif reprenant l’ensembledes remarques de Delannoy, demande `a ce dernier de les publier (cf. [Archivesde la Soci´et´e des sciences naturelles et d’arch´eologie de la Creuse, (Lettre du2 mars 1898)].`A partir de la r´eflexion suivante de Laplace, dont la derni`ere phrase constitueson troisi`eme principe [Laplace, 1921] :Un des points les plus importants de la th´eorie des probabilit´es, et celui quiprˆete le plus aux illusions, est la mani`ere dont les probabilit´es augmententou diminuent par leurs combinaisons mutuelles. Si les ´ev´enements sontind´ependants les uns des autres, la probabilit´e de leur ensemble est leproduit de leurs probabilit´es particuli`eres.Simmons revient sur la signification d’´ev´enements ind´ependants les uns desautres en remettant en question la pertinence de la d´efinition de de Moivre[1756] :Deux ´ev´enements sont ind´ependants quand ils n’influent pas l’un surl’autre et que l’arriv´ee de l’un n’avance ni ne retarde l’arriv´ee de l’autre.Deux ´ev´enements sont d´ependants quand ils se rattachent tellement quela probabilit´e de l’arriv´ee de l’un est chang´ee par l’arriv´ee de l’autre.Il regrette que cette d´efinition soit adopt´ee dans tous les ouvrages de pro-babilit´es (Liagre, Lacroix, Cournot, Laurent, Gross) – quand les termes sontd´efinis31. La d´efinition de de Moivre est encore consid´er´ee comme une bonned´efinition par l’historien des math´ematiques Anders Hald [1990, p. 408]. Teln’est pas l’avis du Rev. Simmons qui veut montrer que si l’on accepte lad´efinition de de Moivre, le principe de Laplace peut donner naissance, danscertains cas, `a de graves erreurs . En particulier il montre sur trois exemplesque le produit des probabilit´es de plusieurs ´ev´enements ind´ependants (se-lon la d´efinition) les uns des autres n’exprime pas toujours la probabilit´e del’´ev´enement compos´e r´esultant du concours de ces ´ev´enements . Il s’agit pre-mi`erement de prendre trois points A, B, C au hasard sur une droite et decalculer la probabilit´e que les points B et C se trouvent du mˆeme cˆot´e par rap-port `a A. Selon la d´efinition de de Moivre, les deux ´ev´enements correspondants`a la situation de B et C `a gauche de A seraient ind´ependants et conduiraient`a la r´eponse 14alors que la bonne r´eponse32 est 23. L’exemple suivant concerneles cordes d’un cercle d´etermin´ees en joignant deux points pris au hasard sur31 Rev. Simmons n’aurait s’en doute pas publi´e son article s’il avait pu lire le Calcul des Proba-bilit´es (cf. [Archives de la Soci´et´e des sciences naturelles et d’arch´eologie de la Creuse, (lettre du 4novembre 1897)]. En effet, Poincar´e pose [1896, p. 16] deux ´ev´enements A et B sont ind´ependantsquand la probabilit´e pour que A se produise reste la mˆeme si l’on sait que B s’est produit ou si l’onsait que B ne s’est pas produit . Rev. Simmons signale enfin la fa¸con ´el´egante de Bertrand [1889,p. 26] d’´eluder le probl`eme des d´efinitions en posant la probabilit´e d’un ´ev´enement compos´e estle produit de la probabilit´e du premier ´ev´enement par la probabilit´e qu’acquiert le second quandon sait que le premier est arriv´e .32 Le texte donne 13, qui est une simple erreur typographique, (cf. [Archives de la Soci´et´e dessciences naturelles et d’arch´eologie de la Creuse, (lettre du 4 novembre 1897)]). 44 s. r. schwer, j.-m. autebertla circonf´erence. On cherche la probabilit´e pour que trois cordes A, B, C ´etantainsi d´etermin´ees, leurs trois intersections se trouvent en dedans du cercle. Lestrois intersections duelles (AB), (AC) et (BC) int´erieures au cercle sont trois´ev´enements P, Q, et R ind´ependants selon de Moivre qui valent chacun 13. Selonle principe de Laplace, la solution est donc 127 . Rev Simmons montre qu’en faitla solution est 115 . Le dernier exemple concerne deux hommes et deux damesvoyageant dans un train comportant des wagons de premi`eres, deuxi`emes ettroisi`emes classes. Il s’agit de montrer que pour presque toutes les valeurs desparam`etres possibles (nombre de wagons de chaque classe, et probabilit´e queles hommes [resp. les femmes] voyagent dans l’une des classes), les hommes setrouveront plus certainement en compagnie de la mˆeme dame.Delannoy r´eplique qu’aucun de ces exemples ne contrarie le troisi`eme principede Laplace car les ´ev´enements ne sont pas ind´ependants. Tout en acceptant lescritiques de Delannoy, le Rev. Simmons d´eveloppe sa th`ese dans sa lettre du 4novembre 1897 (cf. [Archives de la Soci´et´e des sciences naturelles et d’arch´eo-logie de la Creuse] `a savoir, la d´efinition de de Moivre manque de pr´ecisionet propose comme d´efinition 33 : deux ´ev´enements sont ind´ependants quandl’arriv´ee de l’un n’augmente ni ne diminue la probabilit´e de l’autre , d´efinitionque Delannoy cite dans son article en convenant de sa meilleure exactitude.En fait, le Rev. Simmons propose d’utiliser le quatri`eme principe de Laplace,que les ´ev´enements soient ou non ind´ependants, l’ind´ependance pouvant ˆetreconsid´er´ee comme un cas particulier de d´ependance (d´ependance nulle) savoir :Quand deux ´ev´enements d´ependent l’un de l’autre, la probabilit´e de l’´ev´e-nement compos´e est le produit de la probabilit´e du premier ´ev´enement,par la probabilit´e que cet ´ev´enement arriv´e, l’autre arrivera.Deux autres sources d’information nous permettent de rechercher les articles deDelannoy. La premi`ere est la base de donn´ees du projet Jahrbuch34. Pour l’auteurDelannoy, on trouve les neuf publications, dont les huit articles [Delannoy, 1888,1889, 1890(a), 1890(b), 1894(b), 1895(a), 1895(b), 1898]. Il manque donc le premierarticle sur l’´echiquier [Delannoy, 1886] et celui `a la soci´et´e de chimie [Delannoy,1894(a)]. En revanche, y figure l’article : Une question d’analyse ind´etermin´ee[Delannoy, 1897]. La seconde source de r´ef´erence, tardive, est la Revue Semestrielledes Publications Math´ematiques, r´edig´ee sous les auspices de la Soci´et´e Math´ema-tique d’Amsterdam, dont le premier volume paraˆıt en 1893, qui mentionne aussidans son tome V, deuxi`eme partie (octobre 1896 – avril 1897), cet article sous laforme :Journal de math´ematiques ´el´ementaires, publi´e par G. de LongchampsXX 1896 (10–12)[I19c] H. Delannoy, Une question d’analyse ind´etermin´ee .33 La lettre est en anglais, mais les d´efinitions sont donn´ees en Anglais et en Fran¸cais.34 Ce projet vise `a la constitution d’archives num´eriques des publications les plus importantestravaux math´ematiques de la p´eriode 1868-1942, fond´ee sur les Fortschritte der Mathematik, et seconsulte `a l’adresse http ://www .emis.de/M AT H/J F M /. henri-auguste delannoy, une biographie 45Or l’ann´ee 1896 correspond `a un changement d’´epoque pour le Journal de ma-th´ematiques ´el´ementaires. Cr´e´e en 1882, il est destin´e `a l’usage de tous les candidatsaux ´ecoles du gouvernement et des aspirants au Baccalaur´eat `es sciences. En 1896,G. de Longchamps35 c`ede la place `a Georges Mariaud. Le journal s’adresse alors`a l’usage des candidats `a l’Ecole militaire de Saint-Cyr, `a l’Institut Agronomique,aux Baccalaur´eats, `a l’Institut commercial36 et aux ´ecoles de commerce. Ce volumen’existant ni `a la biblioth`eque Interuniversitaire de Math´ematique de Chevaleret ni`a la Biblioth`eque Nationale, nous avons longtemps cru qu’il n’´etait pas paru. Unerecherche plus pouss´ee `a la Biblioth`eque nationale nous a permis de situer un exem-plaire de ce volume `a la Biblioth`eque Universitaire Scientifique de Montpellier37.Il s’agit d’une note de deux pages concernant une g´en´eralisation du th´eor`emed’Euler qui, dans ses ´El´ements d’Alg`ebre (tome II, 247, p. 355), a d´emontr´e quel’´equation x3±y3= 2z3est impossible pour x6=y. Delannoy montre la mˆemeimpossibilit´e pour les deux ´equations 2x3±2y3= 8z3et x3±y3= 4z3.La Revue Semestrielle des Publications Math´ematiques a publi´e toutes les ques-tions pos´ees et les solutions publi´ees dans l’Interm´ediaire des Math´ematiciens. Unepremi`ere liste des num´eros de questions et r´eponses concernant Delannoy a ´et´e pu-bli´ee dans [Banderier, Schwer, 2005] et une compilation est en cours d’´elaboration[Delannoy, compilation `a paraˆıtre]. Nous donnons en 3.2. la liste des questions etdes r´eponses class´ees selon l’Index du R´epertoire (cf. Bibliographie).On trouve ´egalement une autre r´ef´erence `a un article de Delannoy, cit´ee par diversauteurs dont Sainte-Lagu¨e [1929] concernant un probl`eme pos´e par Tait [1883, prob.12], le probl`eme des jetons :On place sur une ligne quatre souverains et quatre shillings dans un ordrealtern´e ; on demande de former une ligne continue de quatre souverains suivisdes quatres shillings, apr`es quatre mouvements de deux pi`eces contigu¨es, sanschanger la position relative de ces pi`eces.Il s’agit de la r´ef´erence : Delannoy. Probl`emes des jetons. Nature, Paris, juin1887, p. 10. Or page 10 de l’exemplaire de juin 1887 du p´eriodique La Nature, ontrouve l’article Amusements par les jetons, sign´e par Edouard Lucas, qui g´en´eralisele probl`eme de Tait `a 2njetons. Mais Lucas pr´ecise bien qu’il y expose l’´el´egantesolution, imagin´ee par M. Delannoy.3.2. Contributions de Delannoy `a l’Interm´ediaire des Math´ematiciensCe journal a ´et´e cr´e´e en 1894 par Laisant et son ami Emile Lemoine. C’est un forumde discussion entre math´ematiciens. Il est fait de questions et de r´eponses concernantles math´ematiques. Des math´ematiciens des plus c´el`ebres aux plus obscurs y parti-cipent. Au cours de la p´eriode des contributions de Delannoy, entre 1894 et 1908, onpeut y lire Appell, Borel, Brocard, Burali-Forti, Cantor, Catalan, Cayley, Ces`aro,35 Professeur de math´ematiques sp´eciales au Lyc´ee Saint-Louis.36 Georges Mariaud y enseigne.37 Grˆace `a l’intervention diligente de notre coll`egue Violaine Prince, la biblioth`eque universitairescientifique de Montpellier nous a gracieusement transmis une copie de l’article. 46 s. r. schwer, j.-m. autebertChebyshev, Darboux, Dickson, Goursat, Hadamard, Hermite, Jumbert, Hurwitz,Jensen, Jordan, Kempe, Koenigs, Laisant, Landau, Laurent, Lemoine, Lerch, L´evy,Lindel¨of, Lipschitz, Moore, Nobel, Picard, Rouch´e, Schwaz, Zoote. . .D`es le 31 aoˆut 1893 (cf. [Archives de la Soci´et´e des sciences naturelles et d’arch´eo-logie de la Creuse]), Lemoine demande `a Delannoy s’il a re¸cu les placards de l’In-termath . Le premier d´ecembre 1893, Lemoine annonce : l’Intermathom`etre marqueaujourd’hui 214 questions et une foule de r´eponses. Au cours des vingt premi`eresann´ees (1994-1913), 4 320 questions ont ´et´e pos´ees. Le classement de ces questionssuivant l’index du R´epertoire bibliographique montre une large pr´edominance de lasection I (Arithm´etique et th´eorie des nombres), avec plus de 980 questions, suiviede la section V (Philosophie et Histoire des Sciences math´ematiques. Biographies demath´ematiciens), avec 652 questions. Les cinq sous-sections comportant plus de 100questions sont I19(308), V (208), V9 (166), I2 (129) et Σ (127). Les sous-sectionsJ1 et J2 (Combinatoire, probabilit´e) et Q4 (G´eom`etrie de situation), auxquellesDelannoy participe notablement font partie des dix-sept sous-sections comprenantplus de 50 questions : 53 pour J1, 86 pour J2 et 94 pour Q4. Ces questions ne sontpas n´ecessairement au centre des pr´eoccupations de la science acad´emique. L’Inter-math offre ainsi un paysage math´ematique plus vari´e qu’il convient d’´etudier plusen d´etail. L’´etude restreinte `a Delannoy, montre ce dernier au cœur des pr´eoccupa-tions d’une communaut´e non n´egligeable de math´ematiciens de l’´epoque. Delannoyy pose une vingtaine de questions et r´epond `a plus d’une cinquantaine de questions,la plupart du temps dans les domaines les plus pris´es de l’Intermath. En voici laliste38 , class´ee selon l’ordre des sections de l’Index :155[I2, Th´eor`eme de Jamblique], 1090[I2bα, Passage de Lucas], 1540[I2b,(b−1)!premier avec bcompos´e], 1723[I2, Sur un passage de l’Arithm´etique de J. Bertrand],29[I10, Partition de nombres], 664[I13bα, 52+ 2 = 33], 1578[I13bα, Sur le nombrede d´ecompositions d’un nombre en somme de deux carr´es], 1659[I13bα, D´ecomposi-tion d’un nombre en somme de deux carr´es], 1551[I17c, 8n+ 3 sommes de 3 carr´es],1875[I17e, Carr´e pair somme de 5 carr´es], 1926[I17b, Sur deux propositions deFermat], 2075[I17a, Bicarr´es sommes de 5 carr´es], 2076[I17a, Carr´es impairs sommede 6 carr´es], 2077[I17a, Carr´es pairs somme de 6 carr´es], 2195[I17c, 8n±1, somme de3 carr´es], 2216[I17, Puissances 6, sommes de 7 carr´es], 2251[I18, Σ, D´ecompositiond’une puissance n`eme d’un entier, ou d’un nombre polygone, en une somme de carr´esou de polygones], 2294[I18c, n6sommes de carr´es ou de cubes], 2305[I18, Bicarr´esomme de quatre cubes et de quatre carr´es], 2648[I18][Σ, Nombres sommes de trian-gulaires], 314[I19b, Le grand th´eor`eme de Fermat], 445 [I19c, Nombres cons´ecutifs],749[I19c, Propri´et´e des nombres], 1360[I19c, x2+ 2 = y3, nombre fini de solutionsenti`eres], 1471[I25b, n6=cube + carr´e + triangulaire ?], 1552[I25b, Nombre trian-gulaire ; carr´es. G´en´eralisation], 1938[I25b, Carr´es ; nombres triangulaires et penta-gonaux], 1939[I25b, D´ecomposition de n8en carr´es, cubes, triangulaires], 2091[I2538 Dans la liste des questions et r´eponses, sont en gras les questions, en italique les r´eponsessignal´ees comme non publi´ees, le symbole * signale que la question est tir´ee de sa correspondanceavec Lucas, celles qui ne sont pas en gras sont celles qu’il propose sous la signature post-mortemde Lucas. henri-auguste delannoy, une biographie 47b, D´ecomposition d’un cube impair], 20[J1b, Arrangements de boules accroch´ees ;probl`eme de chimie], 32*[J1aα, Probl`eme de Caligula], 84*[J1a, Circuit, onts, et je-tons], 139*[J1bβ, Division du cercle], 140*[J1aα, Probl`eme de combinaisons], 330[J1aα, R´eussite de boules dispos´ees en cercle], 371[J1b, D´ecomposition d’un polygoneconvexe], 668[J1aα, Permutations], 1304[J1aα, Permutations circulaires], 1479[J1a,Combinaisons de classe pde 1,2,·· · , n telles qu’il n’y ait dans chacune qu’un seulgroupe de rnombres cons´ecutifs], 1869[J1b, Probl`eme de combinaisons], 2212[J1,Question de dominos], 95[J2c, Probabilit´e, fin de jeu], 141[J2c, Probabilit´e d’un jeu],142 [J2c, Probabilit´e, jeu d’´echecs], 407[J2f, Jeu de cartes], 443[J2c, Urnes, proba-bilit´e], 444[J2f, Echiquier, probabilit´e], 451[J2b, Urne, probabilit´e], 601[J2c, Jeu depiquet, r´eussite], 602[J2c, Jeu de piquet, r´eussite], 603[J2c, Jeu de piquet, r´eussite],1922[J2f, Urne ; calcul num´erique dans un probl`eme de probabilit´e], 2452[J2c, Proba-bilit´e de r´eussite `a l’appel d’un jeu de cartes], 2455[J2c, Classement de feuilles num´e-rot´ees], 2638[J2f, Probabilit´e de r´eussite], 3326[J2f, Probabilit´e pour qu’un nombresoit premier], 2325[K393a, Triangle isoc`ele], 2583[K4, Construction d’un triangle rec-tangle], 1089[L116a, Passage de Lucas40], 2312 [O5a, Diam`etre d’un rouleau de papier], 51[Q4c, Probl`eme des 4 couleurs], 85*[Q4a, Cube construit avec des parall´el´epi-p`edes], 123*[Q4c, Echiquier, nombre de reines], 360[Q4c, Poly`edre convexe dont lessommets sont des tri`edres], 424[Q4bα, Possibilit´e de carr´es magiques], 425[Q4aα,Th´eor`eme sur des chemins], 453[Q4bα, Probl`emes des 36 officiers], 493*[Q4a, Nœudsdans un fil], 494*[Q4b, Jeu de la Tchouka], 495[Q4c, D´ecomposition d’un polygone],496*[Q4a, Echiquiers], 514 [Q4bα, Carr´es magiques], 1925[Q4b, R´eussite de domi-nos], 2873[Q4c, Probl`eme de jeu], 2868[V1, Calcul mental d’Inaudi], 138[V2a, Pas-sage de Pantagruel, nombres], 1894[V2, Arithm´etique amusante de Lucas], 177[V9,Th´eorie des nombres de Lucas], 1459[V9, Produit de deux sommes de ncarr´es],191[X2, Tables de nombres premiers], 192 [X2, Table d’inverses des entiers].3.3. Les r´ef´erences `a H. DelannoyPour les carr´es magiques. On appelle carr´e magique d’ordre nles applications de[1 ··· n]×[1 ·· ·n] dans Npour lesquels il existe un entier stel que la somme des lignes,la somme des colonnes et la somme des diagonales font s. Ainsi d´efinis, l’ensemble Cdes carr´es magiques de degr´e nforment un ensemble stable par combinaison lin´eaire.Plusieurs civilisations antiques et m´edi´evales se sont int´eress´ees `a ces objetscomme talismans. On dit que le Roi chinois Yu, il y a plus de 25 si`ecles auraitaper¸cu un carr´e de ce type sur la carapace d’une tortue sacr´ee. C’est en Egypte, avecle math´ematicien Ibn al-Haytam (XI), que les carr´es magiques deviennent des ob-jets math´ematiques, pour lesquels se d´eveloppent des m´ethodes de remplissage. Maisc’est `a partir du XVIesi`ecle en Europe que son ´etude culmine avec des techniquesde constructions et de nouveaux types de carr´es (latin, eul´erien, hypermagique, . . . ),notamment avec Pascal [1963], Fermat [1844] et Euler dans sa communication Dequadratis magicus paru en 1776. Ces pr´eoccupations sont reprises activement dans39 La section K est la premi`ere section de g´eom´etrie. Elle concerne la g´eom´etrie et la trigonom´etrie´el´ementaire.40 La section L1traite des coniques. 48 s. r. schwer, j.-m. autebertles ann´ees 1880-1890. Delannoy s’est beaucoup int´eress´e aux carr´es magiques etcorrespond beaucoup sur ce th`eme avec Chambeyron, Coccoz, Feisthamel, Frolow,Lagui`ere, Arnould, Mouvat et Sauvageot. Le m´emoire du G´en´eral Frolow [1886] estsuivi des notes de Delannoy et Lucas. Dans le Journal de math´ematiques ´el´emen-taires, Edouard Lucas publie en quatre parties une pr´esentation des carr´es magiquesde Fermat [Lucas, 1885]. Sur les carr´es de 4, Lucas pr´esente les travaux de Fr´enicle,compl´et´e par ceux de M. Delannoy, pour les carr´es `a quartiers ´egaux, Lucas ins`ere(p. 150) deux propositions de Delannoy qui connaissait et a compl´et´e le manuscritde Fermat. Dans son m´emoire sur les Carr´es magiques au degr´e n, le g´en´e-ral E. Cazalas [1934, p. 33-34] cite une m´ethode de H. Delannoy pour trouver unemarche de cavalier sur un ´echiquier de grandeur quelconque, quand on sait ex´ecutercette marche sur les ´echiquiers de 5, 6, 7 et 8 cases de cˆot´e.Pour les jeux math´ematiques. Dans son chapitre concernant les probl`emes de tra-vers´ee de rivi`ere, Dudeney [1917, p. 112] r´ef`ere `a Tartaglia, Bachet, puis Lucas, deFontenay, Delannoy, Tarry. Sainte-Lagu¨e [1929, p. 39] signale une solution deDelannoy au probl`eme de Tait et dans [Sainte-Lagu¨e, 1926, p. 51] pour un jeu dejonction de points. Delannoy est cit´e treize fois dans le livre de l’Allemand Ahrens[1901].Pour les ´echiquiers et les probabilit´es. Lucas consacre un chapitre entier de sa Th´eo-rie des nombres (t. 1, p. 84-90 et 170-176) aux ´echiquiers arithm´etiques. C’est aussiDelannoy qui a calcul´e les tableaux pour le premier article sur les ´echiquiers de Lucas[1883]. Une note de lecture de Lemoine sur un livre d’alg`ebre ´el´ementaire [Lemoine,1892] de C. A. Laisant et E. Perrin destin´e aux ´el`eves des troisi`emes et secondesde l’enseignement primaire sup´erieur y mentionne l’emploi de l’´echiquier pour desquestions relatives aux combinaisons, m´ethode ing´enieuse et simple puis´ee dans lestravaux de M. Delannoy et de notre regrett´e ami Ed. Lucas. En revanche, l’utili-sation des ´echiquiers n’est pas en vogue dans le monde universitaire. Aucun livred’enseignement des probabilit´es de l’´epoque ne r´ef`ere aux travaux de H. Delannoy.Il faudra attendre la relecture du livre de Lucas [1891] par Errera ou Louis Comtetpour red´ecouvrir le nom de Delannoy. Aucune r´ef´erence ni `a Delannoy ni `a Lucasn’est faite dans la bibliographie importante (183 citations) concernant les probl`emescombinatoires li´es au probl`eme de scrutin de Barton et Mallows [1965]. En revanche,Aeppli [1924] rappelle que l’interpr´etation g´eom´etrique du probl`eme du scrutin futintroduite par Delannoy dans ses trois articles de l’AFAS. P´olya [1957] fait un usagesyst´ematique de cette repr´esentation g´eom´etrique, sans jamais se r´ef´erer `a Delannoy.Pourtant Lucas et Laisant ont fait le maximum pour faire connaˆıtre Delannoy etdiffuser les travaux sur les ´echiquiers arithm´etiques. Laisant a fait paraˆıtre la noticesuivante sur Delannoy dans la Grande Encyclop´edie [1885-1902, T.13, p. 1164] :Delannoy (Henri-Auguste), math´ematicien fran¸cais, n´e `a Bourbonne-les-Bainsle 28 sept. 1833. Il entra `a l’ ´Ecole polytechnique en 1853. Officier d’artillerie`a sa sortie de l’ ´Ecole, il passa ensuite dans l’intendance militaire. Ses travauxmath´ematiques ont ´et´e surtout publi´es dans les Comptes rendus de la Soci´et´emath´ematique de France et de l’Association fran¸caise pour l’avancement dessciences. Il a principalement ´etudi´e l’emploi des Echiquiers arithm´etiques (V. henri-auguste delannoy, une biographie 49ce mot) en imaginant des ´echiquiers de forme triangulaire, pentagonale, hexa-gonale, et en donnant des formules qui expriment les nombres contenus danschacune des cases. Cette m´ethode lui a fourni des solutions simples, parfoisimm´ediates, de probl`emes qu’il serait souvent, sinon impossible, du moins tr`esdifficile d’aborder par les proc´ed´es ordinaires, surtout en ce qui concerne cer-taines questions de probabilit´es.Remerciements. De nombreuses informations nouvelles sont le fruit du collectage r´ealis´enotamment `a Gu´eret par les auteurs au cours d’enquˆetes aupr`es de la famille, aupr`es denotables de Gu´eret et aupr`es de la soci´et´e des Sciences Naturelles et Arch´eologiques de laCreuse. Nous tenons `a remercier particuli`erement : Monsieur et Madame Desbeaux, Ma-dame B´eatrice Salviat n´ee Desbeaux (et coll`egue au Lyc´ee Louis le Grand), qui sont desdescendants de H. Delannoy par sa fille, Monsieur Serge Paumier, descendant de H. Delan-noy par son fils ; Monsieur Guy Avizou, vice-pr´esident du conseil g´en´eral de la Creuse, quinous a donn´e un s´esame aupr`es de plusieurs administrations ; Madame Bertrand, directricede la biblioth`eque municipale, propri´etaire des ouvrages de la biblioth`eque math´ematiquede Delannoy ; Maˆıtre Patrick Chaix, notaire, qui a retrouv´e dans ses archives l’inventaireapr`es d´ec`es des effets de Delannoy, en particulier la liste des ouvrages math´ematiques l´e-gu´es `a la Biblioth`eque ; le personnel du service de l’´etat civil ; et naturelleemnt les membresde la soci´et´e des Sciences Naturelles et Arch´eologiques de la Creuse : Monsieur Jean-Pierre Larduinat ; Monsieur R´egis Saint-James qui avec son ´epouse ont tout mis en œuvrepour faciliter nos d´emarches et rendre nos s´ejours `a Gu´eret agr´eables et fructueux.Elles sont aussi le fruit de l’aide de nombreux coll`egues : entre autres, Cyril Bande-rier, Evelyne Bardin, Daniel Barsky, Philippe Flajolet, Matthieu Latapy, Violaine Prince,et particuli`erement Anne-Marie D´ecaillot qui nous a rejoint les deux fois `a Gu´eret et acollabor´e au d´epouillement de la correspondance passive de Delannoy, et de l’aide des bi-blioth´ecaires : Muriel Colombier, des Archives D´epartementales de la Creuse, les membresdu Jahrbuch Project, Genevi`eve Deblock du Conservatoire num´erique des Arts et M´e-tiers (Paris), Solange Garnier, Francine Casas and Fran¸coise Thierry de la biblioth`equede l’Universit´e de Paris-Nord, Madame Odile Vigeannel-Larive de la biblioth`eque Inter-universitaire de Chevaleret (Paris), Lisa Jaouen du D´epartement Sciences et Techniquesde la BNF, Mireille Galceran et Genevi`eve Boyer de la biblioth`eque de l’Universit´e Mont-pellier 2.Nous les remercions tous tr`es chaleureusement ainsi que les deux rapporteurs anonymesqui ont permis d’am´eliorer certaines parties du manuscrit.Le collectage `a Gu´eret a ´et´e financ´e en partie par le laboratoire LIPN (directrice :J. Vauzeilles) et par le projet R´eanimatic (chef de projet : E. M´etais). Une partie de lar´edaction de cet article s’est faite pendant la d´el´egation de Sylviane R. Schwer au LaLICC(directeur : J.-P. Descl´es). 50 s. r. schwer, j.-m. autebertBIBLIOGRAPHIELa Grande Encyclop´edie, inventaire raisonn´e des sciences, des lettres et des arts (31volumes), sous la dir. de Marcelin Berthelot, Paris-Larousse, 1885-1902.ALEMBERT (d’), Article Cartes , Encyclop´edie M´ethodique, Math´ematiques,Tome premier, 1784 p. 306-307.ALEMBERT (d’), Article Probabilit´e , Encyclop´edie M´ethodique, Math´ematiques,Tome second, 1785, p. 640-663. 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Celui-ci en effet avait l´egu´e, par testamentolographe recueilli par Louis Lacrocq, `a la ville de Gu´eret ceux de mes livres de math´e-matiques que mes petits-fils ne croiront pas devoir conserver pour leur usage personnel .Le document en question indiquait que, aucun des petits-enfants du d´efunt croit devoiruser de la facult´e que leur a donn´ee le testament pour ces livres qui, par suite, pourrontˆetre int´egralement remis `a la Biblioth`eque municipale . Ces ouvrages, dont Louis Lacrocqpr´ecise qu’il a fait une liste la veille, ont bien ´et´e donn´es `a la ville de Gu´eret. Nous n’avionspas retrouv´e cette liste, mais, comme il se trouve que les ouvrages anciens de la biblio-th`eque de Gu´eret sont actuellement en d´epˆot aux archives d´epartementales de Gu´eret,nous41 avions eu l’opportunit´e de parcourir ces archives dans lesquelles nous avions trouv´equelques ouvrages dont nous avons eu la conviction qu’ils avaient appartenu `a Delannoy.Quelle ´etait la biblioth`eque personnelle de math´ematiques de Delannoy ? Ces ouvragesse trouvent-ils toujours en la possession de la biblioth`eque de la ville de Gu´eret ? Sont-ilsdans ce cas entrepos´es aux archives de la Creuse ? Voil`a les questions que nous esp´erions´elucider lors d’un nouveau s´ejour `a Gu´eret. Il nous semble en effet int´eressant de savoirce que pouvait ˆetre la biblioth`eque d’un math´ematicien de la fin du XXesi`ecle, ayant desrelations lui permettant de connaˆıtre l’existence des ouvrages susceptibles de l’int´eresser,et disposant apparemment de suffisamment de moyens pour acqu´erir les ouvrages quil’int´eressaient.Nous pr´esentons ici le r´esultat, h´elas seulement partiellement concluant, de nos inves-tigations, faites au cours des vacances d’hiver 2003.La liste de Louis Lacrocq aurait dˆu logiquement se trouver dans les archives de la Mairiede Gu´eret, attach´ee au compte rendu de la s´eance du conseil municipal qui a accept´e ledon, et ´egalement dans les archives de la biblioth`eque municipale. Personne en ces lieuxn’a pu retrouver cette liste. Pas plus, n’avons-nous pu retrouver trace d’archives du relieurtravaillant `a l’´epoque `a Gu´eret. Nous avons donc recherch´e aupr`es des notaires de Gu´eretcelui qui aurait repris les affaires de l’´etude notariale ayant enregistr´e le testament deDelannoy, et qui ´etait g´er´ee par Louis Lacrocq.C’est en l’´etude de maˆıtre Chaix que nous avons eu la solution : maˆıtre Patrick Chaix,qui a h´erit´e semble-t-il de sa m`ere la passion des vieux papiers, s’est suffisament int´eress´e`a notre recherche pour passer du temps `a discuter afin de cerner le probl`eme : Delannoy´etant mort en 1915, c’est-`a-dire pendant la guerre de 14-18, il n’´etait pas rare alors queles charges de notaire soient tenues par d’autres hommes de loi. C’est ce qui s’est pass´eavec Louis Lacrocq, qui ´etait avocat. `A sa deuxi`eme tentative, maˆıtre Chaix a retrouv´ele testament de Delannoy, ainsi que l’inventaire apr`es d´ec`es des effets de Henri-AugusteDelannoy des 17-18 et 26 mars 1915 . Un rapide coup d’œil ne lui a pas permis de trouverla liste de Louis Lacrocq dans cet inventaire, mais par une lecture attentive il a retrouv´e,entre cannes `a pˆeche et vˆetements, trois listes d’ouvrages math´ematiques, qu’il nous a41 Anne-Marie D´ecaillot et les r´edacteurs. 56 s. r. schwer, j.-m. autebertcommuniqu´ees.Voici les extraits des minutes du notaire concernant les livres de math´ematiques deDelannoy42 :Dans une pi`ece, servant de chambre `a coucher size au rez de chauss´ee ona trouv´e :...9oUne collection de livres relatifs aux sciencesmath´ematiques compos´ee de :[1] Bertrand : calcul des probabilit´es[2] Maupin : op´erations d’alg`ebre[3] Fitz-Patrick et Chevreil : exercices d’arithm´etique[4] Laurent : trait´e du calcul des probabilit´es[5] Laisant : alg`ebre[6] Dormoy : th´eorie du Jeu de la Bouillotte[7] Lucas : th´eorie des nombres (tome un)[8] Dormoy : th´eorie des assurances sur la vie[9] Dormoy : th´eorie du Jeu de Baccarat[10] De Laplace : essais sur les probabilit´es[11] De Jaenisch : trait´e des applications de l’analyse au Jeu des´echecs[12] Fleury : th´eorie de l’infini math´ematique[13] Dictionnaire des Jeux math´ematiques et dictionnaire des Jeux(de l’encyclop´edie math´ematique)[14] Bertrand : trait´e d’arithm´etique[15] Le Besgue : Introduction `a la th´eorie des nombres[16] Bertrand : alg`ebre[17] Desboves : alg`ebre[18] Gauthier d’Hauteserie : trait´e sur les probabilit´es[19] Le Besgue : analyse num´erique[20] Laisant : La math´ematique[21] L´eonard Euler : alg`ebre, en deux volumes[22] L’interm´ediaire des math´ematiciens (dix-sept volumes decette revue de mil huit cent quatre vingt quatorze `a 1910[23] Recueil factice, reli´e, contenant un certain nombre detravaux math´ematiques du d´efunt[24] Laurent : th´eorie des Jeux de hasard[25] Lahire : Le Whist `a trois[26] Dormoy : trait´e de l’´ecart´e[27] Coriolis : th´eorie du Jeu de billard[28] Cournot : th´eorie des chances[29] The Doctrine of chances (trait´e en anglais)[30] Essai d’analyse sur les jeux de hasard[31] Pr´ecis des œuvres de Fermat[32] Thomson : Conf´erences scientifiques[33] Maupin : Jeu de la manille42 C’est nous qui num´erotons ; nous avons respect´e l’orthographe et les casses. henri-auguste delannoy, une biographie 57[34] Laun : trait´e de la manille[35] Laisant et Perrin : alg`ebre[36] Arnoux : arithm´etique graphique[37] De Montessus : Calcul des probabilit´es[38] Henry-Fleury : G´eom´etrie[39] Rouch´e et Comb´erous : G´eom´etrie[40] Deveau-Carlier : Le solitaire amusant[41] Rouse-Ball : Histoire des math´ematiques (tome deux)[42. . . 46] Cinq ouvrages sur les math´ematiques, ´ecrits enlangue allemande, dont un en deux volumesCes divers ouvrages ont ´et´e estim´es : cent cinquante francs....21oUne biblioth`eque . . .Ouverture faite on a trouv´e :A— Un certain nombre d’ouvrages relatifs aux math´ematiques, qui sont :[47] Gauss : recherches arithm´etiques[48] Lucas : R´ecr´eations math´ematiques, en 4 tomes[49] Lucas : L’arithm´etique amusante[50] Richard : La philosophie des math´ematiques[51] Laisant : Initiation math´ematique[52] Vinot : R´ecr´eations math´ematiques[53] Bachet : Probl`emes[54] Fourrey : R´ecr´eations arithm´etiques[55] Rouse-Ball : R´ecr´eations et Probl`emes[56] Rouse-Ball : autres r´ecr´eations math´ematiques[57] Bulletin de la Soci´et´e Math´ematique de France, de 1872 `a1905 formant quinze volumes[58] Lettres d’Euler, en deux volumes[59] Berthoud : L’art de r´egler les pendules[60] Fermat : Œuvres en trois tomes[61] Recueil factice, reli´e, contenant divers travaux surles math´ematiques, de plusieurs auteurs[62] Vergnaud : manuel de perspective[63] Delaunay : m´ecaniqueLes divers ouvrages sont estim´es quatre vingts francs..... . . un placard . . . ouverture faite on a trouv´e :Un certain nombre d’ouvrages relatifs aux math´ematiques,qui sont :[64] Heath : Etude sur Diophantos (en anglais)[65] Maupin : Curiosit´es touchant La math´ematique, en troisvolumes[66] Poinsot : El´ements de statique[67] Bertrand : alg`ebre[68] Ozanam : R´ecr´eations math´ematiques, en quatre tomes[69] Leroy : Calcul mental[70] La G´eom´etrie, sans nom d’auteur 58 s. r. schwer, j.-m. autebert[71] C´esaro : Questions d’arithm´etique[72] Legendre Arithm´etique[73. . . 75] Trois ouvrages en langue allemande, dont un endeux tomes[76] Lessir : Jeu des ´echecs[77] Reynaud et Duhamel : Probl`emes[78] B Gossart : st´enarithmie[79] Richard : st´enarithmie[80] ouvrage allemand sur les jeux[81] Jourdain : Arithm´etique[82] Abb´e Pinault : Math´ematiques[83] The messenger of Mathematics, revue anglaise, 1879 `a 1904,trois volumesCes volumes sont estim´es trente francs.Il est `a noter que les ouvrages sont d´esign´es de fa¸con parfois sommaire, les titres ´etantsouvent abr´eg´es, voire remplac´es par une description du contenu. Pire, des ouvrages enlangue allemande, il n’est fait, hostilit´es obligent, mention ni de l’auteur, ni du titre, maisseulement, et dans un seul cas, du contenu.Comme nous nous souvenions que, par exemple, la th´eorie du Jeu de billard de Coriolisfigurait parmi les ouvrages que nous avions vus aux archives de la Creuse (dans le fondde la biblioth`eque de Gu´eret qu’elles abritent), nous ´etions proches du but. Nous sommesdonc retourn´es dans les locaux des archives d´epartementales rechercher ces ouvrages dansle d´epˆot fait par la biblioth`eque municipale, accompagn´es de la directrice de celle-ci, MmeBertrand. Nous y avons effectivement trouv´e certains de ces ouvrages, dont nous donnonsla liste ci-dessous.Dans le mˆeme temps, nous avons d´ecouvert, toujours dans cette salle d’archives, desregistres de biblioth´equaires, ou plus exactement des feuillets restants de ce qui avait ´et´ede tels registres, et dans l’un d’entre eux figure une liste d’ouvrages ressemblant `a la listedes ouvrages mentionn´es par Louis Lacrocq. Cette liste, ´etablie en novembre 1932, sedistingue ais´ement des ouvrages qui l’entourent car, pour chacun des ouvrages qui la com-posent, il figure un num´ero pr´ec´ed´e de la lettre M (clairement pour : Math´ematiques)et l’annotation don . Cette liste pr´esente l’avantage sur la pr´ec´edente que, travail debiblioth´equaire, les titres sont complets, et figure ´egalement l’´editeur et souvent l’ann´eed’´edition.Voici cette nouvelle liste43 :[M115] Laurent H. Th´eorie des Jeux de hasard[M116] Lahure Ch Le Whist `a trois (1) Paris - Libr. Lahure[M117] Dormoy Emile Trait´e de l’Ecart´e (1) Paris - id[M118] Maupin Georges Quelques r´eflexions sur le Jeu de lamanille aux ench`eres (1) Paris - Libr. Nony 1897[M119] Laun Trait´e de la Manille(1) Paris - Librairie Delarue[M120] Deveau-Carlier Alfred Le Solitaire amusant(1) Paris - Imp. Blot 188543 Nous avons respect´e l’orthographe et les casses ; le nombre entre parenth`eses avant les mentionsd’´edition qui figurait dans une colonne sp´eciale est manifestement le nombre de volumes. henri-auguste delannoy, une biographie 59[M121] Dormoy Emile Th´eorie math´ematique du jeu de Baccarat(1) Paris - Imp. Simon Ra¸con Cie 1873[M122] Vinot Joseph R´ecr´eations Math´ematiques(1) Paris - Imp. Blot 1860[M123] Coriolis G.Jeu de Billard[M124] de Jaenisch C.F. Trait´e des applications de l’analyseMath´ematique au Jeu d’Echecs (3) St P´etersbourg 1862[M125] W. Rouse-Ball R´ecr´eations math´ematiques et probl`emesdes temps anciens et modernes (3E´edition)(1) Paris - Libr. Scient. Hermann 1908[M126] Bachet Claude-Gaspard Probl`emes plaisants et d´electablesqui se font par les nombres(1) Paris - Gauthier-Villars[M127] Rouse-Ball R´ecr´eations math´ematiques et probl`emesdes temps anciens et modernes (2e´edition)(1) Paris - Libr. Scient. Hermann 1898[M128] de Montessus R. Le¸cons ´el´ementaires sur le Calcul desProbabilit´es (1) Paris - Imp. Gauthier-Villars 1908[M129] Arnoux Gabriel Arithm´etique graphique. Les espacesarithm´etiques hypermagiques (1) Paris - id 1894[M130] Fitz-Patrick et Chevrel Georges Exercices d’Arith-m´etique (1) Paris - Libr. Sc. Hermann 1893[M131] Laisant C.A. La Math´ematique(1) Paris - Edit. Carr´e et Maud. 1898[M132] C´esaro E. Questions d’arithm´etique (1er M´emoire)(1) Bruxelles - Hayez imprimeur 1883[M133] Bulletin de la Soci´et´e math´ematique de France 1872-1904(15) Paris - Imp. Ra¸con[M134] l’Interm´ediaire des Math´ematiciens (17 vol. reli´eset broch´es) 1894-1912(19) Paris - Imp. 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Cela revient `a faire l’hypoth`eseque les listes de Louis Lacrocq trouv´ees ne couvriraient pas la totalit´e du legs Delannoy.Inversement, on peut se poser la question de pourquoi la totalit´e des ouvrages deslistes de Louis Lacrocq n’ont pas ´et´e r´epertori´es dans les feuillets retrouv´es. Auraient-ils´et´e r´epertori´es sur des feuillets manquants ? Auraient-ils disparu entre 1915 et 1932 ? Etd’abord, pourquoi la num´erotation des ouvrages commence-t-elle `a M115 ?Voici ceux des ouvrages (de l’une et l’autre liste) que nous avons retrouv´es44 :[1][M171] Joseph Bertrand Trait´e d’arithm´etique. Hachette, Paris 1849Ouvrage reli´e[5][M165] C-A. Laisant Alg`ebre. Th´eorie des nombres, probabilit´e, g´eom´etriede situation, Gauthiers-Villards et fils,Ouvrage incomplet, existe de 65 `a fin, 1895[7][-] Edouard Lucas Th´eorie des nombres Gauthiers-Villars et fils,1891Ouvrage broch´e, en mauvais ´etat, incomplet (144p). Couverture carton parla biblioth`eque[11][M124] C. F. De Jaenisch Trait´e des applications de l’analyse au jeudes ´echecs, Tome premier, Saint-Petersbourg 1862Ouvrage broch´e abˆım´e[13][-] Encyclop´edie m´ethodique, Dictionnaire des jeux ”math´ematiques”´ecrit `a la main faisant suite au Tome III des math´ematiques,Paris 1742Ouvrage original reli´e[14][M171] Joseph Bertrand Trait´e d’arithm´etique, Hachette, 1849Ouvrage reli´e[15][-] V.-A. Le B`egue Introduction `a la th´eorie des nombres,Mallet-Bachelier, 1862Ouvrage broch´e en mauvais ´etat, 104 pages (complet ?). Couverture cartonpar la biblioth`eque[17][M156] Desboves Questions d’Alg`ebre ´el´ementaire, Delagrave et Cie,1873Ouvrage reli´e ; avec en sous-titre : m´ethodes et solutions, avec un r´esum´e desprincipales th´eories et un tr`es grand nombre d’exercices propos´es `a l’usagedes diff´erentes classes de math´ematiques[18][M175] Gauthier d’Hauteserve Trait´e sur les probabilit´es, Bachelier,Paris 1834Ouvrage reli´e[19][M170] V. A. Le B`egue Exercices d’ Analyse num´erique, Leiber et Faraguet,Paris 1859Ouvrage reli´e[20][M131] Laisant La math´ematique, philosophie-enseignement, G. Carr´e etC. Naud, 1898Ouvrage reli´e44 Nous en indiquons bri`evement l’´etat. henri-auguste delannoy, une biographie 63[21][-] L´eonard Euler El´ements d’Alg`ebre, traduits de l’allemand, avecdes notes et des additions. Nouvelle ´edition revue corrig´ee,tome premier, de L’analyse d´etermin´ee, 1748Ouvrage broch´e[22][M134] L’interm´ediaire des math´ematiciens (17 volumes de cette revuede 1894 `a 1920)Ouvrages reli´es[24][M115] H. Laurent Th´eorie des jeux de hasard, Encyclop´edie scientifiquedes aides-m´emoire, Gauthiers-Villars et fils, MassonOuvrage reli´e[26][M117] Emile Dormoy Trait´e de l’´ecart´e, Lahure, ParisOuvrage reli´e[27][M123] G. Coriolis Th´eorie Math´ematique des effets du jeu de billard,Carilian-Goeury, Paris 1835Ouvrage reli´e[28][M174] M. A. A. Cournot Exposition de la Th´eorie des chances et desprobabilit´es, Hachette, 1843Ouvrage reli´e[29][-] A. de Moivre, The doctrine of chances, London 1718livre original reli´e ; avec quelques corrections au crayon de papier : p.15Example I -3 : 35 au lieu de 215, calcul p.18[36][M129] Gabriel Arnoux Arithm´etique graphique. Les espaces arithm´etiqueshypermagiques, Gauthiers-Villars et fils, 1894Ouvrage broch´e[37][M128] R. de Montessus Le¸cons ´el´ementaires sur le Calcul des probabilit´es,Gauthiers-Villars, 1908Ouvrage broch´e[41][M135] W.-W. Rouse-Ball Histoire des math´ematiques, troisi`eme ´edition ;´edition fran¸caise par L. Freund, tome deuxi`eme. Avec addition deR. de Montessus, A. Hermann, Paris 1907Ouvrage qui fut broch´e[42...46] Cinq ouvrages sur les math´ematiques, ´ecrits en langue allemande,dont un en deux volumesvoir ci-dessous, les ouvrages num´erot´es [Allx][47][M137] Gauss Recherches arithm´etiques, Paris 1807, traduction dePoullet-DelisleOuvrage reli´e ; seul le titre est imprim´e, le reste est manuscrit[51][M144] C.-A. Laisant Initiation math´ematique, deuxi`eme ´edition,Hachette, 1907Ouvrage broch´e, abˆım´e[53][M126] Claude-Gaspar Bachet, sieur de M´eziriac Probl`emes plaisants etd´electables qui se font par les nombres, quatri`eme ´edition,revue, simplifi´ee et augment´ee par A. Labosne,Gauthiers-Villars,Paris 1879Ouvrage broch´e, 240 pages, incomplet[54][M176] E. Fourrey R´ecr´eations arithm´etiques, Nony et Cie , 1899Ouvrage broch´e, 240 pages, incomplet abˆım´e[55][M127] W. W. Rouse-Ball R´ecr´eations et probl`emes math´ematiques 64 s. r. schwer, j.-m. autebertdes temps anciens et modernes troisi`eme ´edition traduite parFitz-Patrick, A. Hermann, Paris 1898Ouvrage broch´e abˆım´e[56][M125] W. W. Rouse-Ball R´ecr´eations et probl`emes math´ematiques des tempsanciens et modernes deuxi`eme partie deuxi`eme ´edition francaisetraduite de la quatri`eme ´edition par Fitz-Patrick, A. HermannParis 1908 Ouvrage broch´e abˆım´e[57][M133] Bulletins de la Soci´et´e Math´ematique de France, formant15 volumesOuvrages reli´es, les premiers grav´es au nom de Lucas[58][-] Lettres de M. Euler `a une princesse d’Allemagne sur diff´erentesquestions de physique et de philosophie, nouvelle ´edition, tome premier,Royer 1787Ouvrage reli´e[59][-] F. Berthoud L’art de conduire et de r´egler r´egler les penduleset les montres, Bachelier, Paris 1828Ouvrage reli´e[60][-] Fermat Œuvres, publi´e par les soins de Paul Tannery etCharles HenryOuvrages broch´es abˆım´es, il reste des morceaux des tomes II et III[61][-] Recueil factice, reli´e, contenant divers travaux sur lesmath´ematiques, de divers auteurs.Cette d´enomination est particuli`erement vague, mais nous avons retrouv´e un (et unseul) ouvrage correspondant `a celle-ci, reli´e de mani`ere artisanale, et ayant avec certitudeappartenu `a Delannoy.Ce recueil contient plusieurs articles, dont certains ont appartenu `a Lucas, et sont an-not´es de sa main. Les premi`eres pages sont lac´er´ees en bandes r´eguli`eres.Sur la tranche : DAMES DOMINOS ECHECS par LAMARLE RESS VOLPICELLI.Il contient :1. Le jeu des r´eseaux, par le R. P. le Cointe S. J. (Extrait du Cosmos) 3 pages lac´er´ees2. Evaluation du nombre de combinaisons desquels 28 d´es d’un jeu de domino sontsusceptibles d’apr`es la r`egle de ce jeu par Feu DR. M. Reiss `a Francfort. 58 pages,dont 2 lac´er´ees. 15 mai 1859Edouard Lucas annote `a l’encre en premi`ere page : la solution donn´ee par M. Tarry(Congr`es de Nancy) rend ce m´emoire absolument inutile. En derni`ere page : Extraitdes annali di matematica. Le mˆeme nombre a ´et´e trouv´e plus simplement par l’abb´eJolivard et par M. Tarry (congr`es de Nancy 1886) + des calculs `a la main pourtriangle, pentagone, heptagone. D’autres calculs au crayon papier.3. R´ecr´eation math´ematique – Solution d’un coup singulier du jeu de dames dans lapartie : qui perd gagne, par M. Lamarle associ´e de l’acad´emie royale des sciences,pr´esent´e dans la s´eance du 5 juin 1852). Tome XXVII. 47 pages. Note manuscrite deDelannoy : Cette solution a ´et´e simplifi´ee consid´erablement dans le 2dvolume des henri-auguste delannoy, une biographie 65R´ecr´eations math´ematiques (Ed. Lucas 1883). Articles ´etudi´es par deux personnes(Lucas et Delannoy)4. Soluzione completa e generale mediante la geometria di situazione del problemarelativo alle corse del cavallo sopra qualunque scacchiere. memoria del Prof. PaoloVelpicelli. Roma 1972. 389 pages +7 planches de figures.(1 solution dans R´ecr´eations math´ematiques et physiques de Ozanam, tome 1, Paris1750, page 260 Une solution de M. Moivre, Anglois soulign´e et annot´e ”fran¸cais,parti en Angleterre apr`es la r´evocation de l’´edit de Nantes).[64][M150] T. L. Heath Diophantos of Alexandria ; a study in the history of greekalgebra Cambridge University press, 1885Ouvrage broch´e[65][M145] G. Maupin La Math´ematique, opinions et curiosit´es, XVI, XVII,XVIII si`ecles, Carr´e et Naud, 1898Ouvrage reli´e, en 2 exemplaires, dont l’un est d´edicac´e A monsieurl’intendant Delannoy, hommage respectueux et sympathique, 3 Xbre 1890,Georges Maupin[65][M145] G. Maupin La Math´ematique, opinions et curiosit´es, XVI, XVII,XVIII si`ecles, Carr´e et Naud, 1902Ouvrage reli´e, d´edicac´e A monsieur l’intendant H. Delannoy, respectueux etcordial hommage Georges Maupin ( c’est donc le 3eexemplaire de cet ouvrage)[66][M159] L. Poinsot El´emens de statique, Bachelier, Paris 1830Ouvrage reli´e, le haut de la premi`ere page a ´et´e d´ecoup´e, on voit le basd’une signature[68][M172] Ozanam R´ecr´eations math´ematiques et physiques, Nouvelle ´edition,C. A. Jombert, en 4 tomes, 1735, 1736, 1735 et 1735[69][M177] J.-B. Leroy m´ethode simple et raisonn´ee du Calcul mental,Charpentier, Paris 1840Ouvrage broch´e[71][M132] Ernest Ces´aro Sur diverses Questions d’arithm´etique premier m´emoire,Bruxelles 1883 (extraits des M´emoires de la Soci´et´e royale dessciences de Li`ege 2es´erie, t. X.)D´edicac´e `a Monsieur le Prof. Lucas, Hommage d’admiration et de reconnaissance.Li`ege, 3 juin, 1883[72][-] F. Le Gendre l’Arithm´etique et sa perfection mise en pratique selon l’usagedes financiers, gens de pratique, banquiers et marchands, Derni`ere ´edition,Bonnet, Avignon 1792Ouvrage reli´e M. 62[73...75] Trois ouvrages en langue allemande, dont un en deux tomesvoir ci-dessous, les ouvrages num´erot´es [Allx][77][M173] M. Reynaud et M. Duhamel Probl`emes et d´eveloppements sur diversesparties des math´ematiques, Bachelier, Paris 1823Ouvrage broch´e[80] ouvrage allemand sur les jeuxvoir ci-dessous, les ouvrages num´erot´es [Allx][81][M153] L. Jourdain trait´e ´el´ementaire d’Arithm´etique, Paris 1863 (auteur-´editeur)Ouvrage reli´e 66 s. r. schwer, j.-m. autebert[82][M157] Abb´e Pinault Trait´e ´el´ementaire de Math´ematiques, Gaumes fr`eres,Paris 1836Ouvrage reli´e[82][M157] Abb´e Pinault Trait´e ´el´ementaire de Math´ematiques, Gaumes fr`eres,Paris 1841, deuxi`eme ´editionOuvrage reli´e[83][M147] The messenger of Mathematics, revue anglaise, 1879 `a 1904,3 volumes[ ?][M151] Eug`ene Rouch´e Elements de G´eom´etrie descriptive,DelagraveOuvrage reli´e[ ?][M151] Eug`ene Rouch´e Elements de G´eom´etrie descriptive. Planche, DelagraveOuvrage reli´e[ ?][M155] C.-A. Laisant et E. Lemoine Trait´e d’aritm´etique, Gauthiers-Villars et fils, 1895Ouvrage broch´e[ ?][M164] E. Collignon Cours ´el´ementaire de m´ecanique (statique),Paris 1883Ouvrage broch´e[ ?][M164] E. Collignon Cours ´el´ementaire de m´ecanique (cin´ematique),Paris 1883Ouvrage broch´e[All1] Paul Bachmann Die Lehre von der Kreistheilung und ihre Beziehungen zurZahlentheorie, Teubner, Leipzig 1872Ouvrage reli´e, ayant appartenu `a Lucas[All2] P. J. Lejeune Dirichlet. Vorlesungen ¨uber Zahlentheorie Herausgegebenund mit zus¨atzen versehen von R. Dedekind, en deux volumes, Brauschweig1879Ouvrage retrouv´e dans les rebuts en lambeaux, complet ; absence de couverture[All3] Dr. F. U. B. Diefterweg Unweifung zum Gebrauche des Leitfadens f¨ur denUnterricht Formen, G¨rossen und r¨aumlichen Verbindungslehre, Elberfeld 1837F¨ur Lehrer welche mathematishe Gegenstt¨ande als Mittel zur allgemeinenBildung benussen wollen.Ouvrage reli´e, ´ecrit en allemand gothique. Parle des nombres figur´esp. 126 (planche)[All4] W. Ahrens Mathematische Unterhaltungen und Spiele, Teubner,Leibzig 1901Ouvrage reli´e (deux volumes identiques)[All5] Dr. Jul. Petersen Theorie der Algebraischen Gleichungen,Kopenhagen 1878Ouvrage broch´e, abˆım´e ; exemplaire de Lucas, avec l’annotation lu le 7 aoˆut[All6] P. L. Tschebyscheff Theorie der Congruenzen, traduction de Schapira,Berlin 1889Ouvrage broch´e, abˆım´e[All7] G¨unther Vermischte Untersuchungen. Geschichte der mathematischenWissenschaftenOuvrage sans couverture henri-auguste delannoy, une biographie 67Sur nombre de ces ouvrages (ceux en bon ´etat de conservation), il y a une ´etiquette surla tranche avec le num´ero de la liste pr´ec´edente correspondant. Par ailleurs, nous n’avonspratiquement retrouv´e aucun ouvrage dans cette salle des archives portant une ´etiquetteMxavec x 115, mais en avons retrouv´e n´eanmoins au moins un !Comme il n’existe finalement aucun rapport d’inclusion entre ces ensembles ou leurscombinaisons bool´eennes, aucune hypoth`ese ne peut ˆetre lev´ee avec certitude. L’hypoth`ese,vraisemblable, que des ouvrages auraient ´et´e perdus ou d´etruits entre 1915 et 1932, et demˆeme entre 1932 et nos jours, ne peut donc pas tout expliquer :— L’absence, dans les listes de Louis Lacrocq, d’ouvrages dont on a l’´echo dans la corres-pondance de Delannoy, comme celui du g´en´eral Frolow sur les carr´es magiques, et d’ou-vrages de la liste de 1932, comme celui de ses deux amis Laisant et Lemoine [M155], sembleaccr´editer l’hypoth`ese que la biblioth`eque de Delannoy ´etait plus vaste que le contenu deces listes. Une liste suppl´ementaire existerait-elle quelque part ?— L’absence, dans la liste de 1932, d’ouvrages figurant sur les listes de Louis Lacrocqne signifie pas n´ecessairement que ceux-ci aient ´et´e perdus puisque nous avons retrouv´enotamment les ouvrages d’Edouard Lucas [7], Le B`egue [15], L´eonard Euler [21], Fermat[60] et Le Gendre [72]. Avaient-ils ´et´e momentan´ement mis de cˆot´e (pour un prˆet ?) aumoment o`u cette liste a ´et´e ´etablie ?— On remarque que, parmi les livres que nous n’avons pas retrouv´es, une grande propor-tion d’entre eux ont pour sujet des math´ematiques r´ecr´eatives. Peut-on faire l’hypoth`eseoptimiste que ces ouvrages non retrouv´es auraient ´et´e rang´es ailleurs, mais restent n´ean-moins quelque part en la possession de la biblioth`eque de la ville de Gu´eret ?Quoi qu’il en soit, il est sˆur que les livres de math´ematiques de la biblioth`eque munici-pale de Gu´eret qui sont entrepos´es aux archives d´epartementales de la Creuse sont, pourl’essentiel, ceux qui proviennent du legs fait par Delannoy, et constituent la majeure partiede la biblioth`eque math´ematique de celui-ci.Par ailleurs, la pr´esence d’ouvrages ayant, avec certitude, appartenu `a Edouard Lucas(reli´es `a son nom, avec des annotations de sa main) prouve qu’`a la mort de celui-ci, Delan-noy a h´erit´e d’une partie de sa biblioth`eque. Comment cette derni`ere a-t-elle ´et´e partag´e ?On peut faire l’hypoth`ese que, l`a encore, c’est Laisant qui en aura fait la r´epartition.Citations (5)References (44)... Cette préoccupation pour le mode d écriture par problème, rejoint une autre partie de l enquête initiale, qui visait à questionner généralement la place des questions probabilistes dans les mathématiques « non académiques » pour la période 1870-1930, c est-à-dire au sein d associations ou de revues qui se situent à la marge des milieux scientifiques (Association française pour l avancement des sciences, Intermédiaire des mathématiciens, etc.). On a exploré plus particulièrement, à la suite de (Schwer Autebert, 2006) la rencontre entre probabilités, combinatoires et récréations mathématiques. Les premiers dépouillements sur les récréations probabilistes n ont pas donné pour l instant de résultats probants, même si on sait par ailleurs que Borel a présidé pour un temps l AFAS. ...Actes du séminaire national de didactique des mathématiques 2017BookJan 2019Thomas Barrier Chambris ChristineView... The Delannoy numbers are named for Henri-Auguste Delannoy, 1833-1915. For a biography, see Schwer Autebert (2006). He investigated the possible moves on a chessboard. ...Functions on discrete sets holomorphic in the sense of Ferrand, or monodiffric functions of the second kindArticleFull-text availableApr 2008SCI CHINA SER A Christer Oscar KiselmanWe study the class of functions called monodiffric of the second kind by Isaacs. They are discrete analogues of holomorphicfunctions of one or two complex variables. Discrete analogues of the Cauchy-Riemann operator, of domains of holomorphy inone discrete variable, and of the Hartogs phenomenon in two discrete variables are investigated. Two fundamental solutionsto the discrete Cauchy-Riemann equation are studied: one with support in a quadrant, the other with decay at infinity. Thefirst is easy to construct by induction; the second is accessed via its Fourier transform.ViewShow abstract... A lot of information on the Catalan sequence can be also found in [44], sequence number A000108. 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Their implementation is demonstratedand their performance is compared with four more familiar approaches in the context of sequences that enumerate various classesof lattice paths.KeywordsLog-convexity-Integer sequences-Recurrences-Motzkin numbers-Catalan numbers-Schröder numbers-Delannoy numbers-Lattice pathsMathematics Subject Classification (2000)05A20-11B83-11B37-05E35-05B50-26A17ViewShow abstractDomains of holomorphy for Fourier transforms of solutions to discrete convolution equationsArticleFeb 2017 Christer Oscar KiselmanWe study solutions to convolution equations for functions with discrete support in ℝn, a special case being functions with support in the integer points. 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The article brings to light how the milieu of new associations which took shape to promote science (Association Française pour l Avancement des Sciences, Société Mathématique de France) allowed the constitution of social groups internationally connected and quite active in the promotion and development of mathematical recreations. Lastly, the article suggests that this type of mathematical activity allowed the cultivation of fields that at the time the French academic milieu perceived as marginal such as number theory and analysis situs as well as their applications.ViewShow abstractSieur de Méziriac. Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres. Quatrième édition revue et simplifiéeArticleClaude-Gaspard BachetViewNote on a \"Square” Functional EquationArticleApr 1970SIAM REVR.G. Stanton Donald D CowanViewEssai Philosophique Sur Les ProbabilitésArticleJan 1814Pierre - Simon LaplaceViewSome Aspects of the Random SequenceArticleFeb 1965Ann Math StatD. E. Barton Colin MallowsThis is primarily a review of combinatorial problems connected with ballot problems, runs, records, and amalgamation, but numerous new results and applications occur throughout the paper. The early history of the classical ballot problem is clarified, and many recent generalizations and applications are noted. For runs and records, the main emphasis is on the derivation of the null-hypothesis distributions, with only passing reference to asymptotics and non-null distributions. An appendix lists recent work on the Kolmogorov and Smirnov statistics. There are 183 references.ViewShow abstractObjects Counted By The Central Delannoy NumbersArticleMay 2003Robert A. SulankeThe central Delannoy numbers, (d n ) n0 = 1; 3; 13; 63; 321; 1683; 8989; 48639; : : : (A001850 of The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences) will be defined so that dn counts the lattice paths running from (0; 0) to (n; n) that use the steps (1; 0), (0; 1), and (1; 1). In a recreational spirit we give a collection of 29 configurations that these numbers count.ViewShow abstractWhy Delannoy numbers?ArticleDec 2004J STAT PLAN INFERCyril Banderier Sylviane R. SchwerThis article is not a research paper, but a little note on the history of combinatorics: We present here a tentative short biography of Henri Delannoy, and a survey of his most notable works. This answers to the question raised in the title, as these works are related to lattice paths enumeration, to the so-called Delannoy numbers, and were the first general way to solve Ballot-like problems. These numbers appear in probabilistic game theory, alignments of DNA sequences, tiling problems, temporal representation models, analysis of algorithms and combinatorial structures.ViewShow abstractUne preuve bijective d une formule de Touchard-RiordanJan 19951-3PENAUD J.-G., Une preuve bijective d une formule de Touchard-Riordan, Discrete Mathematics 139, 1-3, 1995, p. 347-360.) Paris -Libr. Lahure [M117] Dormoy Emile Traité de l Ecarté (1) Paris -id [M118] Maupin Georges Quelques réflexions sur le Jeu de la manille aux enchères (1) Paris -LibrVoici Cette Nouvelle ListeVoici cette nouvelle liste 43 : [M115] Laurent H. Théorie des Jeux de hasard [M116] Lahure Ch Le WhistàWhistà trois (1) Paris -Libr. Lahure [M117] Dormoy Emile Traité de l Ecarté (1) Paris -id [M118] Maupin Georges Quelques réflexions sur le Jeu de la manille aux enchères (1) Paris -Libr. Nony 1897 [M119] Laun Traité de la Manille (1) Paris -Librairie Delarue [M120] Deveau-Carlier Alfred Le Solitaire amusant (1) Paris -Imp. Blot 1885Les carrés magiques de FermatJan 1885104-111LUCAS E., Les carrés magiques de Fermat, J. Math. Elem. 4, 1885, p. 104-111, 130-136, 148-153, 176-180.On the analytical forms called trees, with applications to the theory of chemical combinationsJan 1875257-305CAYLEY A., On the analytical forms called trees, with applications to the theory of chemical combinations , Report British Association, 1875, p. 257-305.Show moreAdvertisementRecommendationsDiscover moreProjectTelltime Dana Cohen Sylviane R. Schwer Valentina Vapnarsky[...]Paulette Roulon-DokoThis study aims to examine the use of temproal markers in language from a comparative perspective, considering both language-specific and cross-linguistic patterns. The linguistic expressions consi dered are based on the range of time-reckoning terms, starting with the FUNDAMENTAL CALENDAR UNITS (e.g., day, year), DAY SEGMENTS (e.g., morning, noon) and NAMED DAYS OF THE WEEK (e.g., Tuesday). These terms reflect distinct types of abstract segmentation and refer to distinct temporal cycles. The linguistic use -- retrieval of temporal reference in particular -- involves an interaction between linguistic factors, abstract calendrical properties of the units involved and the impact of socio-cultural aspects. ... [more]View projectProjectReasoning about Qualitative Temporal Information: the Theory of S-languages Irène Anne Durand Sylviane R. SchwerView projectProjectGroupe IREM Paris Nord, Cycle 3 Sylviane R. SchwerView projectChapterHistory or Heritage? A Central Question in the Historiography of MathematicsJanuary 2004Ivor Grattan-GuinessThe growth in interest and work in the history of mathematics in the last three decades or so has led naturally to reactions among mathematicians. Some of them have been welcoming, and indeed have contributed their own historical research; but many others have been cautious, and even contemptuous about the work produced by practising historians for apparently limited lack of knowledge of ... 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Their history can be used as a framework for a history of mathematics generally. In this ... [Show full abstract] chapter, we take a brief look at the fascinating subject of primes.Read moreArticleP-adic Stirling numbers of the second kindJuly 2013 · Fibonacci QuarterlyDonald M. DavisLet S(n,k) denote the Stirling numbers of the second kind. We prove that thep-adic limit of S(p^e a + c, p^e b + d) as e goes to infinity exists for allintegers a, b, c, and d. We call the limiting p-adic integer S(p^infty a + c,p^infty b + d). When a equiv b mod (p-1) or d le 0, we express them in termsof p-adic binomial coefficients introduced in a recent paper. Read moreArticleQuelques vues de Leibniz en relation avec la durée de la vie humaineFebruary 2001 · Mathématiques et Sciences HumainesRoland PressatLeibniz showed up high mathematical virtuosity in treating the longevity of various people groups, endowed each with a fictitious mortality law. He then gave up strictly demographic considerations to make clever financial procedures regarding life annuities. Read moreDiscover the world s researchJoin ResearchGate to find the people and research you need to help your work.Join for free ResearchGate iOS AppGet it from the App Store now.InstallKeep up with your stats and moreAccess scientific knowledge from anywhere orDiscover by subject areaRecruit researchersJoin for freeLoginEmail Tip: Most researchers use their institutional email address as their ResearchGate loginPasswordForgot password? Keep me logged inLog inorContinue with GoogleWelcome back! Please log in.Email · HintTip: Most researchers use their institutional email address as their ResearchGate loginPasswordForgot password? Keep me logged inLog inorContinue with GoogleNo account? Sign upCompanyAbout usNewsCareersSupportHelp CenterBusiness solutionsAdvertisingRecruiting© 2008-2021 ResearchGate GmbH. All rights reserved.TermsPrivacyCopyrightImprint

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